Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100588 / 97519
↖ ↑ ↗
← S 65.639022°
E 96.273194°		 ← 125.96 m → S 65.639022°
E 96.275940°		 →
↑
125.95 m
↓
↑
125.95 m
↓
S 65.640155°
E 96.273194°		 ← 125.95 m →
15 865 m²		 S 65.640155°
E 96.275940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767429351806641 y=0.744014739990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767429351806641 × 217)
    floor (0.767429351806641 × 131072)
    floor (100588.5)     		tx = 100588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744014739990234 × 217)
    floor (0.744014739990234 × 131072)
    floor (97519.5)     		ty = 97519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100588 / 97519 ti = "17/100588/97519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100588/97519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100588 ÷ 217
    100588 ÷ 131072     		x = 0.767425537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97519 ÷ 217
    97519 ÷ 131072     		y = 0.744010925292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767425537109375 × 2 - 1) × π
    0.53485107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68028421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744010925292969 × 2 - 1) × π
    -0.488021850585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.53316586054826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68028421} λ = 1.68028421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53316586054826))-π/2
    2×atan(0.215851229578435)-π/2
    2×0.212589637534498-π/2
    0.425179275068997-1.57079632675     		φ = -1.14561705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68028421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.273194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14561705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.639022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100588 KachelY 97519 1.68028421 -1.14561705 96.273194 -65.639022
    Oben rechts KachelX + 1 100589 KachelY 97519 1.68033214 -1.14561705 96.275940 -65.639022
    Unten links KachelX 100588 KachelY + 1 97520 1.68028421 -1.14563682 96.273194 -65.640155
    Unten rechts KachelX + 1 100589 KachelY + 1 97520 1.68033214 -1.14563682 96.275940 -65.640155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14561705--1.14563682) × R
    1.97699999999745e-05 × 6371000     		dl = 125.954669999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14561705--1.14563682) × R
    1.97699999999745e-05 × 6371000     		dr = 125.954669999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68028421-1.68033214) × cos(-1.14561705) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.412484103220591 × 6371000     		do = 125.956983102246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68028421-1.68033214) × cos(-1.14563682) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41246609336591 × 6371000     		du = 125.951483576461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14561705)-sin(-1.14563682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412484103220591-0.41246609336591)×R²
    abs(1.68033214-1.68028421)×1.80098546807006e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80098546807006e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80098546807006e-05×40589641000000     		ar = 15864.5238957077m²