Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100588 / 101349
↖ ↑ ↗
← S 69.631290°
E 96.273194°		 ← 106.28 m → S 69.631290°
E 96.275940°		 →
↑
106.33 m
↓
↑
106.33 m
↓
S 69.632247°
E 96.273194°		 ← 106.28 m →
11 301 m²		 S 69.632247°
E 96.275940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767429351806641 y=0.773235321044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767429351806641 × 217)
    floor (0.767429351806641 × 131072)
    floor (100588.5)     		tx = 100588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773235321044922 × 217)
    floor (0.773235321044922 × 131072)
    floor (101349.5)     		ty = 101349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100588 / 101349 ti = "17/100588/101349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100588/101349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100588 ÷ 217
    100588 ÷ 131072     		x = 0.767425537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101349 ÷ 217
    101349 ÷ 131072     		y = 0.773231506347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767425537109375 × 2 - 1) × π
    0.53485107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68028421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773231506347656 × 2 - 1) × π
    -0.546463012695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.71676418609307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68028421} λ = 1.68028421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71676418609307))-π/2
    2×atan(0.17964651111043)-π/2
    2×0.177750521858645-π/2
    0.355501043717289-1.57079632675     		φ = -1.21529528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68028421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.273194°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21529528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.631290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100588 KachelY 101349 1.68028421 -1.21529528 96.273194 -69.631290
    Oben rechts KachelX + 1 100589 KachelY 101349 1.68033214 -1.21529528 96.275940 -69.631290
    Unten links KachelX 100588 KachelY + 1 101350 1.68028421 -1.21531197 96.273194 -69.632247
    Unten rechts KachelX + 1 100589 KachelY + 1 101350 1.68033214 -1.21531197 96.275940 -69.632247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21529528--1.21531197) × R
    1.66899999998193e-05 × 6371000     		dl = 106.331989998849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21529528--1.21531197) × R
    1.66899999998193e-05 × 6371000     		dr = 106.331989998849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68028421-1.68033214) × cos(-1.21529528) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.348060126353183 × 6371000     		do = 106.284346745329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68028421-1.68033214) × cos(-1.21531197) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.348044479893487 × 6371000     		du = 106.279568910634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21529528)-sin(-1.21531197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348060126353183-0.348044479893487)×R²
    abs(1.68033214-1.68028421)×1.56464596960393e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.56464596960393e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.56464596960393e-05×40589641000000     		ar = 11301.1720771369m²