Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100585 / 99555
↖ ↑ ↗
← S 67.845524°
E 96.264953°		 ← 115.18 m → S 67.845524°
E 96.267700°		 →
↑
115.12 m
↓
↑
115.12 m
↓
S 67.846560°
E 96.264953°		 ← 115.17 m →
13 259 m²		 S 67.846560°
E 96.267700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767406463623047 y=0.759548187255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767406463623047 × 217)
    floor (0.767406463623047 × 131072)
    floor (100585.5)     		tx = 100585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759548187255859 × 217)
    floor (0.759548187255859 × 131072)
    floor (99555.5)     		ty = 99555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100585 / 99555 ti = "17/100585/99555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100585/99555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100585 ÷ 217
    100585 ÷ 131072     		x = 0.767402648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99555 ÷ 217
    99555 ÷ 131072     		y = 0.759544372558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767402648925781 × 2 - 1) × π
    0.534805297851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.68014039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759544372558594 × 2 - 1) × π
    -0.519088745117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.63076538817469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68014039} λ = 1.68014039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63076538817469))-π/2
    2×atan(0.195779669322801)-π/2
    2×0.19333427574783-π/2
    0.386668551495661-1.57079632675     		φ = -1.18412778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68014039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.264953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18412778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.845524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100585 KachelY 99555 1.68014039 -1.18412778 96.264953 -67.845524
    Oben rechts KachelX + 1 100586 KachelY 99555 1.68018833 -1.18412778 96.267700 -67.845524
    Unten links KachelX 100585 KachelY + 1 99556 1.68014039 -1.18414585 96.264953 -67.846560
    Unten rechts KachelX + 1 100586 KachelY + 1 99556 1.68018833 -1.18414585 96.267700 -67.846560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18412778--1.18414585) × R
    1.80699999998701e-05 × 6371000     		dl = 115.123969999173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18412778--1.18414585) × R
    1.80699999998701e-05 × 6371000     		dr = 115.123969999173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68014039-1.68018833) × cos(-1.18412778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377105019797021 × 6371000     		do = 115.177579729144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68014039-1.68018833) × cos(-1.18414585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377088283834433 × 6371000     		du = 115.172468135386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18412778)-sin(-1.18414585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377105019797021-0.377088283834433)×R²
    abs(1.68018833-1.68014039)×1.67359625886099e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67359625886099e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67359625886099e-05×40589641000000     		ar = 13259.4060002983m²