Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100583 / 99556
↖ ↑ ↗
← S 67.846560°
E 96.259460°		 ← 115.17 m → S 67.846560°
E 96.262207°		 →
↑
115.19 m
↓
↑
115.19 m
↓
S 67.847595°
E 96.259460°		 ← 115.17 m →
13 266 m²		 S 67.847595°
E 96.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767391204833984 y=0.759555816650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767391204833984 × 217)
    floor (0.767391204833984 × 131072)
    floor (100583.5)     		tx = 100583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759555816650391 × 217)
    floor (0.759555816650391 × 131072)
    floor (99556.5)     		ty = 99556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100583 / 99556 ti = "17/100583/99556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100583/99556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100583 ÷ 217
    100583 ÷ 131072     		x = 0.767387390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99556 ÷ 217
    99556 ÷ 131072     		y = 0.759552001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767387390136719 × 2 - 1) × π
    0.534774780273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.68004452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759552001953125 × 2 - 1) × π
    -0.51910400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63081332507431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68004452} λ = 1.68004452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63081332507431))-π/2
    2×atan(0.195770284477387)-π/2
    2×0.193325237325631-π/2
    0.386650474651261-1.57079632675     		φ = -1.18414585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68004452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.259460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18414585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.846560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100583 KachelY 99556 1.68004452 -1.18414585 96.259460 -67.846560
    Oben rechts KachelX + 1 100584 KachelY 99556 1.68009246 -1.18414585 96.262207 -67.846560
    Unten links KachelX 100583 KachelY + 1 99557 1.68004452 -1.18416393 96.259460 -67.847595
    Unten rechts KachelX + 1 100584 KachelY + 1 99557 1.68009246 -1.18416393 96.262207 -67.847595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18414585--1.18416393) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dl = 115.1876800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18414585--1.18416393) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dr = 115.1876800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68004452-1.68009246) × cos(-1.18414585) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377088283834433 × 6371000     		do = 115.172468135386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68004452-1.68009246) × cos(-1.18416393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377071538486874 × 6371000     		du = 115.167353675216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18414585)-sin(-1.18416393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377088283834433-0.377071538486874)×R²
    abs(1.68009246-1.68004452)×1.67453475587998e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67453475587998e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67453475587998e-05×40589641000000     		ar = 13266.1548432702m²