Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100583 / 98557
↖ ↑ ↗
← S 66.788662°
E 96.259460°		 ← 120.38 m → S 66.788662°
E 96.262207°		 →
↑
120.35 m
↓
↑
120.35 m
↓
S 66.789745°
E 96.259460°		 ← 120.37 m →
14 487 m²		 S 66.789745°
E 96.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767391204833984 y=0.751934051513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767391204833984 × 217)
    floor (0.767391204833984 × 131072)
    floor (100583.5)     		tx = 100583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751934051513672 × 217)
    floor (0.751934051513672 × 131072)
    floor (98557.5)     		ty = 98557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100583 / 98557 ti = "17/100583/98557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100583/98557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100583 ÷ 217
    100583 ÷ 131072     		x = 0.767387390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98557 ÷ 217
    98557 ÷ 131072     		y = 0.751930236816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767387390136719 × 2 - 1) × π
    0.534774780273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.68004452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751930236816406 × 2 - 1) × π
    -0.503860473632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.58292436235387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68004452} λ = 1.68004452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58292436235387))-π/2
    2×atan(0.205373632262676)-π/2
    2×0.202557134139303-π/2
    0.405114268278606-1.57079632675     		φ = -1.16568206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68004452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.259460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16568206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.788662°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100583 KachelY 98557 1.68004452 -1.16568206 96.259460 -66.788662
    Oben rechts KachelX + 1 100584 KachelY 98557 1.68009246 -1.16568206 96.262207 -66.788662
    Unten links KachelX 100583 KachelY + 1 98558 1.68004452 -1.16570095 96.259460 -66.789745
    Unten rechts KachelX + 1 100584 KachelY + 1 98558 1.68009246 -1.16570095 96.262207 -66.789745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16568206--1.16570095) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dl = 120.348189999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16568206--1.16570095) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dr = 120.348189999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68004452-1.68009246) × cos(-1.16568206) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394123780683326 × 6371000     		do = 120.375547366724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68004452-1.68009246) × cos(-1.16570095) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394106419619329 × 6371000     		du = 120.370244850905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16568206)-sin(-1.16570095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394123780683326-0.394106419619329)×R²
    abs(1.68009246-1.68004452)×1.73610639966904e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73610639966904e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73610639966904e-05×40589641000000     		ar = 14486.6601721991m²