Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100582 / 99506
↖ ↑ ↗
← S 67.794717°
E 96.256714°		 ← 115.43 m → S 67.794717°
E 96.259460°		 →
↑
115.38 m
↓
↑
115.38 m
↓
S 67.795755°
E 96.256714°		 ← 115.42 m →
13 318 m²		 S 67.795755°
E 96.259460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100582 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767383575439453 y=0.759174346923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767383575439453 × 217)
    floor (0.767383575439453 × 131072)
    floor (100582.5)     		tx = 100582
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759174346923828 × 217)
    floor (0.759174346923828 × 131072)
    floor (99506.5)     		ty = 99506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100582 / 99506 ti = "17/100582/99506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100582/99506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100582 ÷ 217
    100582 ÷ 131072     		x = 0.767379760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99506 ÷ 217
    99506 ÷ 131072     		y = 0.759170532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767379760742188 × 2 - 1) × π
    0.534759521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67999658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759170532226562 × 2 - 1) × π
    -0.518341064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62841648009331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67999658} λ = 1.67999658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62841648009331))-π/2
    2×atan(0.196240078287726)-π/2
    2×0.193777650312661-π/2
    0.387555300625322-1.57079632675     		φ = -1.18324103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67999658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.256714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18324103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.794717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100582 KachelY 99506 1.67999658 -1.18324103 96.256714 -67.794717
    Oben rechts KachelX + 1 100583 KachelY 99506 1.68004452 -1.18324103 96.259460 -67.794717
    Unten links KachelX 100582 KachelY + 1 99507 1.67999658 -1.18325914 96.256714 -67.795755
    Unten rechts KachelX + 1 100583 KachelY + 1 99507 1.68004452 -1.18325914 96.259460 -67.795755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18324103--1.18325914) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dl = 115.378810000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18324103--1.18325914) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dr = 115.378810000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67999658-1.68004452) × cos(-1.18324103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377926153120911 × 6371000     		do = 115.428374982232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67999658-1.68004452) × cos(-1.18325914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377909386173634 × 6371000     		du = 115.423253924952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18324103)-sin(-1.18325914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377926153120911-0.377909386173634)×R²
    abs(1.68004452-1.67999658)×1.6766947277258e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6766947277258e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6766947277258e-05×40589641000000     		ar = 13317.6931153665m²