Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100580 / 99494
↖ ↑ ↗
← S 67.782258°
E 96.251221°		 ← 115.49 m → S 67.782258°
E 96.253967°		 →
↑
115.44 m
↓
↑
115.44 m
↓
S 67.783296°
E 96.251221°		 ← 115.48 m →
13 332 m²		 S 67.783296°
E 96.253967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767368316650391 y=0.759082794189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767368316650391 × 217)
    floor (0.767368316650391 × 131072)
    floor (100580.5)     		tx = 100580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759082794189453 × 217)
    floor (0.759082794189453 × 131072)
    floor (99494.5)     		ty = 99494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100580 / 99494 ti = "17/100580/99494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100580/99494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100580 ÷ 217
    100580 ÷ 131072     		x = 0.767364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99494 ÷ 217
    99494 ÷ 131072     		y = 0.759078979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767364501953125 × 2 - 1) × π
    0.53472900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67990071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759078979492188 × 2 - 1) × π
    -0.518157958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62784123729787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67990071} λ = 1.67990071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62784123729787))-π/2
    2×atan(0.196352996453504)-π/2
    2×0.193886378912008-π/2
    0.387772757824015-1.57079632675     		φ = -1.18302357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67990071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.251221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18302357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.782258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100580 KachelY 99494 1.67990071 -1.18302357 96.251221 -67.782258
    Oben rechts KachelX + 1 100581 KachelY 99494 1.67994865 -1.18302357 96.253967 -67.782258
    Unten links KachelX 100580 KachelY + 1 99495 1.67990071 -1.18304169 96.251221 -67.783296
    Unten rechts KachelX + 1 100581 KachelY + 1 99495 1.67994865 -1.18304169 96.253967 -67.783296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18302357--1.18304169) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dl = 115.442520000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18302357--1.18304169) × R
    1.81200000000104e-05 × 6371000     		dr = 115.442520000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67990071-1.67994865) × cos(-1.18302357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378127476424123 × 6371000     		do = 115.489864301095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67990071-1.67994865) × cos(-1.18304169) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378110701707955 × 6371000     		du = 115.484740870996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18302357)-sin(-1.18304169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378127476424123-0.378110701707955)×R²
    abs(1.67994865-1.67990071)×1.67747161686771e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67747161686771e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67747161686771e-05×40589641000000     		ar = 13332.1452388445m²