Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100579 / 97574
↖ ↑ ↗
← S 65.701258°
E 96.248474°		 ← 125.68 m → S 65.701258°
E 96.251221°		 →
↑
125.70 m
↓
↑
125.70 m
↓
S 65.702388°
E 96.248474°		 ← 125.68 m →
15 798 m²		 S 65.702388°
E 96.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767360687255859 y=0.744434356689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767360687255859 × 217)
    floor (0.767360687255859 × 131072)
    floor (100579.5)     		tx = 100579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744434356689453 × 217)
    floor (0.744434356689453 × 131072)
    floor (97574.5)     		ty = 97574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100579 / 97574 ti = "17/100579/97574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100579/97574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100579 ÷ 217
    100579 ÷ 131072     		x = 0.767356872558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97574 ÷ 217
    97574 ÷ 131072     		y = 0.744430541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767356872558594 × 2 - 1) × π
    0.534713745117188 × 3.1415926535     		Λ = 1.67985277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744430541992188 × 2 - 1) × π
    -0.488861083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53580239002736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67985277} λ = 1.67985277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53580239002736))-π/2
    2×atan(0.215282881011655)-π/2
    2×0.212046526873412-π/2
    0.424093053746825-1.57079632675     		φ = -1.14670327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67985277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.248474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14670327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.701258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100579 KachelY 97574 1.67985277 -1.14670327 96.248474 -65.701258
    Oben rechts KachelX + 1 100580 KachelY 97574 1.67990071 -1.14670327 96.251221 -65.701258
    Unten links KachelX 100579 KachelY + 1 97575 1.67985277 -1.14672300 96.248474 -65.702388
    Unten rechts KachelX + 1 100580 KachelY + 1 97575 1.67990071 -1.14672300 96.251221 -65.702388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14670327--1.14672300) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dl = 125.699829999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14670327--1.14672300) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dr = 125.699829999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67985277-1.67990071) × cos(-1.14670327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41149435189187 × 6371000     		do = 125.680966932313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67985277-1.67990071) × cos(-1.14672300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411476369646908 × 6371000     		du = 125.675474691838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14670327)-sin(-1.14672300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41149435189187-0.411476369646908)×R²
    abs(1.67990071-1.67985277)×1.79822449619671e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79822449619671e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79822449619671e-05×40589641000000     		ar = 15797.730991263m²