Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100577 / 99516
↖ ↑ ↗
← S 67.805095°
E 96.242981°		 ← 115.38 m → S 67.805095°
E 96.245728°		 →
↑
115.38 m
↓
↑
115.38 m
↓
S 67.806132°
E 96.242981°		 ← 115.37 m →
13 312 m²		 S 67.806132°
E 96.245728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767345428466797 y=0.759250640869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767345428466797 × 217)
    floor (0.767345428466797 × 131072)
    floor (100577.5)     		tx = 100577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759250640869141 × 217)
    floor (0.759250640869141 × 131072)
    floor (99516.5)     		ty = 99516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100577 / 99516 ti = "17/100577/99516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100577/99516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100577 ÷ 217
    100577 ÷ 131072     		x = 0.767341613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99516 ÷ 217
    99516 ÷ 131072     		y = 0.759246826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767341613769531 × 2 - 1) × π
    0.534683227539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.67975690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759246826171875 × 2 - 1) × π
    -0.51849365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62889584908951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67975690} λ = 1.67975690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62889584908951))-π/2
    2×atan(0.196146029422239)-π/2
    2×0.193687087370148-π/2
    0.387374174740296-1.57079632675     		φ = -1.18342215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67975690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.242981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18342215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.805095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100577 KachelY 99516 1.67975690 -1.18342215 96.242981 -67.805095
    Oben rechts KachelX + 1 100578 KachelY 99516 1.67980484 -1.18342215 96.245728 -67.805095
    Unten links KachelX 100577 KachelY + 1 99517 1.67975690 -1.18344026 96.242981 -67.806132
    Unten rechts KachelX + 1 100578 KachelY + 1 99517 1.67980484 -1.18344026 96.245728 -67.806132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18342215--1.18344026) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dl = 115.378810000453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18342215--1.18344026) × R
    1.81100000000711e-05 × 6371000     		dr = 115.378810000453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67975690-1.67980484) × cos(-1.18342215) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377758459553248 × 6371000     		do = 115.377157050235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67975690-1.67980484) × cos(-1.18344026) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.377741691366644 × 6371000     		du = 115.372035614433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18342215)-sin(-1.18344026))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377758459553248-0.377741691366644)×R²
    abs(1.67980484-1.67975690)×1.67681866039548e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67681866039548e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67681866039548e-05×40589641000000     		ar = 13311.7836295522m²