Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100577 / 97576
↖ ↑ ↗
← S 65.703518°
E 96.242981°		 ← 125.67 m → S 65.703518°
E 96.245728°		 →
↑
125.70 m
↓
↑
125.70 m
↓
S 65.704648°
E 96.242981°		 ← 125.66 m →
15 796 m²		 S 65.704648°
E 96.245728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767345428466797 y=0.744449615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767345428466797 × 217)
    floor (0.767345428466797 × 131072)
    floor (100577.5)     		tx = 100577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744449615478516 × 217)
    floor (0.744449615478516 × 131072)
    floor (97576.5)     		ty = 97576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100577 / 97576 ti = "17/100577/97576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100577/97576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100577 ÷ 217
    100577 ÷ 131072     		x = 0.767341613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97576 ÷ 217
    97576 ÷ 131072     		y = 0.74444580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767341613769531 × 2 - 1) × π
    0.534683227539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.67975690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74444580078125 × 2 - 1) × π
    -0.4888916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5358982638266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67975690} λ = 1.67975690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5358982638266))-π/2
    2×atan(0.215262242013327)-π/2
    2×0.212026801971909-π/2
    0.424053603943818-1.57079632675     		φ = -1.14674272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67975690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.242981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14674272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.703518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100577 KachelY 97576 1.67975690 -1.14674272 96.242981 -65.703518
    Oben rechts KachelX + 1 100578 KachelY 97576 1.67980484 -1.14674272 96.245728 -65.703518
    Unten links KachelX 100577 KachelY + 1 97577 1.67975690 -1.14676245 96.242981 -65.704648
    Unten rechts KachelX + 1 100578 KachelY + 1 97577 1.67980484 -1.14676245 96.245728 -65.704648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14674272--1.14676245) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dl = 125.699829999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14674272--1.14676245) × R
    1.97299999999956e-05 × 6371000     		dr = 125.699829999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67975690-1.67980484) × cos(-1.14674272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411458396356055 × 6371000     		do = 125.669985186179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67975690-1.67980484) × cos(-1.14676245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411440413790828 × 6371000     		du = 125.664492847888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14674272)-sin(-1.14676245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411458396356055-0.411440413790828)×R²
    abs(1.67980484-1.67975690)×1.79825652270038e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79825652270038e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79825652270038e-05×40589641000000     		ar = 15796.3505815198m²