Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100577 / 97575
↖ ↑ ↗
← S 65.702388°
E 96.242981°		 ← 125.68 m → S 65.702388°
E 96.245728°		 →
↑
125.64 m
↓
↑
125.64 m
↓
S 65.703518°
E 96.242981°		 ← 125.67 m →
15 789 m²		 S 65.703518°
E 96.245728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767345428466797 y=0.744441986083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767345428466797 × 217)
    floor (0.767345428466797 × 131072)
    floor (100577.5)     		tx = 100577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744441986083984 × 217)
    floor (0.744441986083984 × 131072)
    floor (97575.5)     		ty = 97575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100577 / 97575 ti = "17/100577/97575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100577/97575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100577 ÷ 217
    100577 ÷ 131072     		x = 0.767341613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97575 ÷ 217
    97575 ÷ 131072     		y = 0.744438171386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767341613769531 × 2 - 1) × π
    0.534683227539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.67975690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744438171386719 × 2 - 1) × π
    -0.488876342773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.53585032692698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67975690} λ = 1.67975690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53585032692698))-π/2
    2×atan(0.215272561265148)-π/2
    2×0.212036664207212-π/2
    0.424073328414424-1.57079632675     		φ = -1.14672300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67975690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.242981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14672300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.702388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100577 KachelY 97575 1.67975690 -1.14672300 96.242981 -65.702388
    Oben rechts KachelX + 1 100578 KachelY 97575 1.67980484 -1.14672300 96.245728 -65.702388
    Unten links KachelX 100577 KachelY + 1 97576 1.67975690 -1.14674272 96.242981 -65.703518
    Unten rechts KachelX + 1 100578 KachelY + 1 97576 1.67980484 -1.14674272 96.245728 -65.703518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14672300--1.14674272) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dl = 125.636120000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14672300--1.14674272) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dr = 125.636120000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67975690-1.67980484) × cos(-1.14672300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411476369646908 × 6371000     		do = 125.675474691838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67975690-1.67980484) × cos(-1.14674272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411458396356055 × 6371000     		du = 125.669985186179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14672300)-sin(-1.14674272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411476369646908-0.411458396356055)×R²
    abs(1.67980484-1.67975690)×1.79732908531793e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79732908531793e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79732908531793e-05×40589641000000     		ar = 15789.0341798034m²