Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100576 / 99515
↖ ↑ ↗
← S 67.804057°
E 96.240234°		 ← 115.38 m → S 67.804057°
E 96.242981°		 →
↑
115.38 m
↓
↑
115.38 m
↓
S 67.805095°
E 96.240234°		 ← 115.38 m →
13 312 m²		 S 67.805095°
E 96.242981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767337799072266 y=0.759243011474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767337799072266 × 217)
    floor (0.767337799072266 × 131072)
    floor (100576.5)     		tx = 100576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759243011474609 × 217)
    floor (0.759243011474609 × 131072)
    floor (99515.5)     		ty = 99515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100576 / 99515 ti = "17/100576/99515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100576/99515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100576 ÷ 217
    100576 ÷ 131072     		x = 0.767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99515 ÷ 217
    99515 ÷ 131072     		y = 0.759239196777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767333984375 × 2 - 1) × π
    0.53466796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67970896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759239196777344 × 2 - 1) × π
    -0.518478393554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.62884791218989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67970896} λ = 1.67970896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62884791218989))-π/2
    2×atan(0.196155432280132)-π/2
    2×0.19369614185572-π/2
    0.38739228371144-1.57079632675     		φ = -1.18340404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67970896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.240234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18340404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.804057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100576 KachelY 99515 1.67970896 -1.18340404 96.240234 -67.804057
    Oben rechts KachelX + 1 100577 KachelY 99515 1.67975690 -1.18340404 96.242981 -67.804057
    Unten links KachelX 100576 KachelY + 1 99516 1.67970896 -1.18342215 96.240234 -67.805095
    Unten rechts KachelX + 1 100577 KachelY + 1 99516 1.67975690 -1.18342215 96.242981 -67.805095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18340404--1.18342215) × R
    1.81099999998491e-05 × 6371000     		dl = 115.378809999038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18340404--1.18342215) × R
    1.81099999998491e-05 × 6371000     		dr = 115.378809999038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67970896-1.67975690) × cos(-1.18340404) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.377775227615957 × 6371000     		do = 115.382278448731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67970896-1.67975690) × cos(-1.18342215) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.377758459553248 × 6371000     		du = 115.377157050769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18340404)-sin(-1.18342215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377775227615957-0.377758459553248)×R²
    abs(1.67975690-1.67970896)×1.67680627095046e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.67680627095046e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.67680627095046e-05×40589641000000     		ar = 13312.3745322015m²