Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100575 / 98595
↖ ↑ ↗
← S 66.829762°
E 96.237488°		 ← 120.15 m → S 66.829762°
E 96.240234°		 →
↑
120.22 m
↓
↑
120.22 m
↓
S 66.830843°
E 96.237488°		 ← 120.14 m →
14 444 m²		 S 66.830843°
E 96.240234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767330169677734 y=0.752223968505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767330169677734 × 217)
    floor (0.767330169677734 × 131072)
    floor (100575.5)     		tx = 100575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752223968505859 × 217)
    floor (0.752223968505859 × 131072)
    floor (98595.5)     		ty = 98595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100575 / 98595 ti = "17/100575/98595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100575/98595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100575 ÷ 217
    100575 ÷ 131072     		x = 0.767326354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98595 ÷ 217
    98595 ÷ 131072     		y = 0.752220153808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767326354980469 × 2 - 1) × π
    0.534652709960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.67966103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752220153808594 × 2 - 1) × π
    -0.504440307617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.58474596453944
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67966103} λ = 1.67966103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58474596453944))-π/2
    2×atan(0.204999863737425)-π/2
    2×0.20219846611577-π/2
    0.40439693223154-1.57079632675     		φ = -1.16639939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67966103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.237488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16639939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.829762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100575 KachelY 98595 1.67966103 -1.16639939 96.237488 -66.829762
    Oben rechts KachelX + 1 100576 KachelY 98595 1.67970896 -1.16639939 96.240234 -66.829762
    Unten links KachelX 100575 KachelY + 1 98596 1.67966103 -1.16641826 96.237488 -66.830843
    Unten rechts KachelX + 1 100576 KachelY + 1 98596 1.67970896 -1.16641826 96.240234 -66.830843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16639939--1.16641826) × R
    1.88699999998931e-05 × 6371000     		dl = 120.220769999319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16639939--1.16641826) × R
    1.88699999998931e-05 × 6371000     		dr = 120.220769999319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67966103-1.67970896) × cos(-1.16639939) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.393464411917525 × 6371000     		do = 120.149091555409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67966103-1.67970896) × cos(-1.16641826) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.393447063904538 × 6371000     		du = 120.143794130946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16639939)-sin(-1.16641826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393464411917525-0.393447063904538)×R²
    abs(1.67970896-1.67966103)×1.73480129868619e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.73480129868619e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.73480129868619e-05×40589641000000     		ar = 14444.0978716652m²