Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100574 / 98699
↖ ↑ ↗
← S 66.941896°
E 96.234741°		 ← 119.62 m → S 66.941896°
E 96.237488°		 →
↑
119.58 m
↓
↑
119.58 m
↓
S 66.942972°
E 96.234741°		 ← 119.62 m →
14 305 m²		 S 66.942972°
E 96.237488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767322540283203 y=0.753017425537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767322540283203 × 217)
    floor (0.767322540283203 × 131072)
    floor (100574.5)     		tx = 100574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753017425537109 × 217)
    floor (0.753017425537109 × 131072)
    floor (98699.5)     		ty = 98699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100574 / 98699 ti = "17/100574/98699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100574/98699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100574 ÷ 217
    100574 ÷ 131072     		x = 0.767318725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98699 ÷ 217
    98699 ÷ 131072     		y = 0.753013610839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767318725585938 × 2 - 1) × π
    0.534637451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67961309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753013610839844 × 2 - 1) × π
    -0.506027221679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.58973140209992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67961309} λ = 1.67961309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58973140209992))-π/2
    2×atan(0.203980393082045)-π/2
    2×0.20121991483975-π/2
    0.402439829679501-1.57079632675     		φ = -1.16835650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67961309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.234741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16835650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.941896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100574 KachelY 98699 1.67961309 -1.16835650 96.234741 -66.941896
    Oben rechts KachelX + 1 100575 KachelY 98699 1.67966103 -1.16835650 96.237488 -66.941896
    Unten links KachelX 100574 KachelY + 1 98700 1.67961309 -1.16837527 96.234741 -66.942972
    Unten rechts KachelX + 1 100575 KachelY + 1 98700 1.67966103 -1.16837527 96.237488 -66.942972
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16835650--1.16837527) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dl = 119.583670000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16835650--1.16837527) × R
    1.87700000000568e-05 × 6371000     		dr = 119.583670000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67961309-1.67966103) × cos(-1.16835650) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.391664410316643 × 6371000     		do = 119.6243923531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67961309-1.67966103) × cos(-1.16837527) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.391647139817858 × 6371000     		du = 119.619117498228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16835650)-sin(-1.16837527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391664410316643-0.391647139817858)×R²
    abs(1.67966103-1.67961309)×1.72704987850825e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.72704987850825e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.72704987850825e-05×40589641000000     		ar = 14304.8084661766m²