Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100573 / 101361
↖ ↑ ↗
← S 69.642759°
E 96.231995°		 ← 106.25 m → S 69.642759°
E 96.234741°		 →
↑
106.20 m
↓
↑
106.20 m
↓
S 69.643714°
E 96.231995°		 ← 106.24 m →
11 284 m²		 S 69.643714°
E 96.234741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767314910888672 y=0.773326873779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767314910888672 × 217)
    floor (0.767314910888672 × 131072)
    floor (100573.5)     		tx = 100573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773326873779297 × 217)
    floor (0.773326873779297 × 131072)
    floor (101361.5)     		ty = 101361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100573 / 101361 ti = "17/100573/101361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100573/101361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100573 ÷ 217
    100573 ÷ 131072     		x = 0.767311096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101361 ÷ 217
    101361 ÷ 131072     		y = 0.773323059082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767311096191406 × 2 - 1) × π
    0.534622192382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.67956515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773323059082031 × 2 - 1) × π
    -0.546646118164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.71733942888851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67956515} λ = 1.67956515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71733942888851))-π/2
    2×atan(0.179543200466388)-π/2
    2×0.177650439308501-π/2
    0.355300878617003-1.57079632675     		φ = -1.21549545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67956515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.231995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21549545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.642759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100573 KachelY 101361 1.67956515 -1.21549545 96.231995 -69.642759
    Oben rechts KachelX + 1 100574 KachelY 101361 1.67961309 -1.21549545 96.234741 -69.642759
    Unten links KachelX 100573 KachelY + 1 101362 1.67956515 -1.21551212 96.231995 -69.643714
    Unten rechts KachelX + 1 100574 KachelY + 1 101362 1.67961309 -1.21551212 96.234741 -69.643714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21549545--1.21551212) × R
    1.66700000001629e-05 × 6371000     		dl = 106.204570001038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21549545--1.21551212) × R
    1.66700000001629e-05 × 6371000     		dr = 106.204570001038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67956515-1.67961309) × cos(-1.21549545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3478724655687 × 6371000     		do = 106.249205221875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67956515-1.67961309) × cos(-1.21551212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347856836697485 × 6371000     		du = 106.244431762319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21549545)-sin(-1.21551212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3478724655687-0.347856836697485)×R²
    abs(1.67961309-1.67956515)×1.56288712157004e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56288712157004e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56288712157004e-05×40589641000000     		ar = 11283.897672102m²