Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100573 / 101350
↖ ↑ ↗
← S 69.632247°
E 96.231995°		 ← 106.30 m → S 69.632247°
E 96.234741°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
S 69.633202°
E 96.231995°		 ← 106.30 m →
11 296 m²		 S 69.633202°
E 96.234741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767314910888672 y=0.773242950439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767314910888672 × 217)
    floor (0.767314910888672 × 131072)
    floor (100573.5)     		tx = 100573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773242950439453 × 217)
    floor (0.773242950439453 × 131072)
    floor (101350.5)     		ty = 101350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100573 / 101350 ti = "17/100573/101350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100573/101350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100573 ÷ 217
    100573 ÷ 131072     		x = 0.767311096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101350 ÷ 217
    101350 ÷ 131072     		y = 0.773239135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767311096191406 × 2 - 1) × π
    0.534622192382812 × 3.1415926535     		Λ = 1.67956515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773239135742188 × 2 - 1) × π
    -0.546478271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71681212299269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67956515} λ = 1.67956515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71681212299269))-π/2
    2×atan(0.179637899620065)-π/2
    2×0.177742179584495-π/2
    0.35548435916899-1.57079632675     		φ = -1.21531197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67956515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.231995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21531197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.632247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100573 KachelY 101350 1.67956515 -1.21531197 96.231995 -69.632247
    Oben rechts KachelX + 1 100574 KachelY 101350 1.67961309 -1.21531197 96.234741 -69.632247
    Unten links KachelX 100573 KachelY + 1 101351 1.67956515 -1.21532865 96.231995 -69.633202
    Unten rechts KachelX + 1 100574 KachelY + 1 101351 1.67961309 -1.21532865 96.234741 -69.633202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21531197--1.21532865) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dl = 106.268280000651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21531197--1.21532865) × R
    1.66800000001022e-05 × 6371000     		dr = 106.268280000651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67956515-1.67961309) × cos(-1.21531197) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348044479893487 × 6371000     		do = 106.301742824314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67956515-1.67961309) × cos(-1.21532865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.348028842711679 × 6371000     		du = 106.296966826488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21531197)-sin(-1.21532865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348044479893487-0.348028842711679)×R²
    abs(1.67961309-1.67956515)×1.56371818079148e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56371818079148e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56371818079148e-05×40589641000000     		ar = 11296.2496027932m²