Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100572 / 100028
↖ ↑ ↗
← S 68.330319°
E 96.229248°		 ← 112.76 m → S 68.330319°
E 96.231995°		 →
↑
112.83 m
↓
↑
112.83 m
↓
S 68.331334°
E 96.229248°		 ← 112.75 m →
12 722 m²		 S 68.331334°
E 96.231995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767307281494141 y=0.763156890869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767307281494141 × 217)
    floor (0.767307281494141 × 131072)
    floor (100572.5)     		tx = 100572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763156890869141 × 217)
    floor (0.763156890869141 × 131072)
    floor (100028.5)     		ty = 100028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100572 / 100028 ti = "17/100572/100028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100572/100028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100572 ÷ 217
    100572 ÷ 131072     		x = 0.767303466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100028 ÷ 217
    100028 ÷ 131072     		y = 0.763153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767303466796875 × 2 - 1) × π
    0.53460693359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67951722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763153076171875 × 2 - 1) × π
    -0.52630615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65343954169498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67951722} λ = 1.67951722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65343954169498))-π/2
    2×atan(0.191390479669335)-π/2
    2×0.189103635899311-π/2
    0.378207271798622-1.57079632675     		φ = -1.19258905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67951722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.229248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19258905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.330319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100572 KachelY 100028 1.67951722 -1.19258905 96.229248 -68.330319
    Oben rechts KachelX + 1 100573 KachelY 100028 1.67956515 -1.19258905 96.231995 -68.330319
    Unten links KachelX 100572 KachelY + 1 100029 1.67951722 -1.19260676 96.229248 -68.331334
    Unten rechts KachelX + 1 100573 KachelY + 1 100029 1.67956515 -1.19260676 96.231995 -68.331334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19258905--1.19260676) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dl = 112.83041000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19258905--1.19260676) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dr = 112.83041000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67951722-1.67956515) × cos(-1.19258905) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369255035620365 × 6371000     		do = 112.756467264826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67951722-1.67956515) × cos(-1.19260676) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369238577161796 × 6371000     		du = 112.751441476507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19258905)-sin(-1.19260676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369255035620365-0.369238577161796)×R²
    abs(1.67956515-1.67951722)×1.64584585691241e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64584585691241e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64584585691241e-05×40589641000000     		ar = 12722.074900994m²