Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100570 / 97552
↖ ↑ ↗
← S 65.676382°
E 96.223755°		 ← 125.80 m → S 65.676382°
E 96.226502°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
S 65.677513°
E 96.223755°		 ← 125.80 m →
15 821 m²		 S 65.677513°
E 96.226502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767292022705078 y=0.744266510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767292022705078 × 217)
    floor (0.767292022705078 × 131072)
    floor (100570.5)     		tx = 100570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744266510009766 × 217)
    floor (0.744266510009766 × 131072)
    floor (97552.5)     		ty = 97552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100570 / 97552 ti = "17/100570/97552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100570/97552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100570 ÷ 217
    100570 ÷ 131072     		x = 0.767288208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97552 ÷ 217
    97552 ÷ 131072     		y = 0.7442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767288208007812 × 2 - 1) × π
    0.534576416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67942134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7442626953125 × 2 - 1) × π
    -0.488525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53474777823572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67942134} λ = 1.67942134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53474777823572))-π/2
    2×atan(0.215510040638065)-π/2
    2×0.212263614577117-π/2
    0.424527229154234-1.57079632675     		φ = -1.14626910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67942134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.223755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14626910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.676382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100570 KachelY 97552 1.67942134 -1.14626910 96.223755 -65.676382
    Oben rechts KachelX + 1 100571 KachelY 97552 1.67946928 -1.14626910 96.226502 -65.676382
    Unten links KachelX 100570 KachelY + 1 97553 1.67942134 -1.14628884 96.223755 -65.677513
    Unten rechts KachelX + 1 100571 KachelY + 1 97553 1.67946928 -1.14628884 96.226502 -65.677513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14626910--1.14628884) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dl = 125.763539999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14626910--1.14628884) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dr = 125.763539999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67942134-1.67946928) × cos(-1.14626910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411890020977881 × 6371000     		do = 125.801814455702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67942134-1.67946928) × cos(-1.14628884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411872033147052 × 6371000     		du = 125.796320509161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14626910)-sin(-1.14628884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411890020977881-0.411872033147052)×R²
    abs(1.67946928-1.67942134)×1.79878308289028e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79878308289028e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79878308289028e-05×40589641000000     		ar = 15820.9360556826m²