Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100570 / 101362
↖ ↑ ↗
← S 69.643714°
E 96.223755°		 ← 106.24 m → S 69.643714°
E 96.226502°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
S 69.644670°
E 96.223755°		 ← 106.24 m →
11 290 m²		 S 69.644670°
E 96.226502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767292022705078 y=0.773334503173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767292022705078 × 217)
    floor (0.767292022705078 × 131072)
    floor (100570.5)     		tx = 100570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773334503173828 × 217)
    floor (0.773334503173828 × 131072)
    floor (101362.5)     		ty = 101362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100570 / 101362 ti = "17/100570/101362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100570/101362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100570 ÷ 217
    100570 ÷ 131072     		x = 0.767288208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101362 ÷ 217
    101362 ÷ 131072     		y = 0.773330688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767288208007812 × 2 - 1) × π
    0.534576416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67942134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773330688476562 × 2 - 1) × π
    -0.546661376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71738736578813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67942134} λ = 1.67942134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71738736578813))-π/2
    2×atan(0.179534593928297)-π/2
    2×0.177642101532093-π/2
    0.355284203064186-1.57079632675     		φ = -1.21551212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67942134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.223755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21551212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.643714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100570 KachelY 101362 1.67942134 -1.21551212 96.223755 -69.643714
    Oben rechts KachelX + 1 100571 KachelY 101362 1.67946928 -1.21551212 96.226502 -69.643714
    Unten links KachelX 100570 KachelY + 1 101363 1.67942134 -1.21552880 96.223755 -69.644670
    Unten rechts KachelX + 1 100571 KachelY + 1 101363 1.67946928 -1.21552880 96.226502 -69.644670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21551212--1.21552880) × R
    1.66799999998801e-05 × 6371000     		dl = 106.268279999236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21551212--1.21552880) × R
    1.66799999998801e-05 × 6371000     		dr = 106.268279999236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67942134-1.67946928) × cos(-1.21551212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347856836697485 × 6371000     		do = 106.244431762319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67942134-1.67946928) × cos(-1.21552880) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347841198354069 × 6371000     		du = 106.239655409709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21551212)-sin(-1.21552880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347856836697485-0.347841198354069)×R²
    abs(1.67946928-1.67942134)×1.56383434155583e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56383434155583e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56383434155583e-05×40589641000000     		ar = 11290.1592356798m²