Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100570 / 101358
↖ ↑ ↗
← S 69.639893°
E 96.223755°		 ← 106.26 m → S 69.639893°
E 96.226502°		 →
↑
106.20 m
↓
↑
106.20 m
↓
S 69.640848°
E 96.223755°		 ← 106.26 m →
11 285 m²		 S 69.640848°
E 96.226502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767292022705078 y=0.773303985595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767292022705078 × 217)
    floor (0.767292022705078 × 131072)
    floor (100570.5)     		tx = 100570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773303985595703 × 217)
    floor (0.773303985595703 × 131072)
    floor (101358.5)     		ty = 101358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100570 / 101358 ti = "17/100570/101358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100570/101358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100570 ÷ 217
    100570 ÷ 131072     		x = 0.767288208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101358 ÷ 217
    101358 ÷ 131072     		y = 0.773300170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767288208007812 × 2 - 1) × π
    0.534576416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67942134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773300170898438 × 2 - 1) × π
    -0.546600341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.71719561818965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67942134} λ = 1.67942134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71719561818965))-π/2
    2×atan(0.179569022556225)-π/2
    2×0.177675454886177-π/2
    0.355350909772354-1.57079632675     		φ = -1.21544542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67942134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.223755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21544542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.639893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100570 KachelY 101358 1.67942134 -1.21544542 96.223755 -69.639893
    Oben rechts KachelX + 1 100571 KachelY 101358 1.67946928 -1.21544542 96.226502 -69.639893
    Unten links KachelX 100570 KachelY + 1 101359 1.67942134 -1.21546209 96.223755 -69.640848
    Unten rechts KachelX + 1 100571 KachelY + 1 101359 1.67946928 -1.21546209 96.226502 -69.640848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21544542--1.21546209) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dl = 106.204569999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21544542--1.21546209) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dr = 106.204569999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67942134-1.67946928) × cos(-1.21544542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347919370352799 × 6371000     		do = 106.263531150268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67942134-1.67946928) × cos(-1.21546209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347903741771723 × 6371000     		du = 106.258757779328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21544542)-sin(-1.21546209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347919370352799-0.347903741771723)×R²
    abs(1.67946928-1.67942134)×1.5628581076732e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5628581076732e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5628581076732e-05×40589641000000     		ar = 11285.4191559465m²