Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100568 / 98616
↖ ↑ ↗
← S 66.852446°
E 96.218262°		 ← 120.04 m → S 66.852446°
E 96.221008°		 →
↑
120.09 m
↓
↑
120.09 m
↓
S 66.853526°
E 96.218262°		 ← 120.03 m →
14 415 m²		 S 66.853526°
E 96.221008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767276763916016 y=0.752384185791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767276763916016 × 217)
    floor (0.767276763916016 × 131072)
    floor (100568.5)     		tx = 100568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752384185791016 × 217)
    floor (0.752384185791016 × 131072)
    floor (98616.5)     		ty = 98616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100568 / 98616 ti = "17/100568/98616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100568/98616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100568 ÷ 217
    100568 ÷ 131072     		x = 0.76727294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98616 ÷ 217
    98616 ÷ 131072     		y = 0.75238037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76727294921875 × 2 - 1) × π
    0.5345458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67932547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75238037109375 × 2 - 1) × π
    -0.5047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58575263943146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67932547} λ = 1.67932547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58575263943146))-π/2
    2×atan(0.204793599359737)-π/2
    2×0.202000512365752-π/2
    0.404001024731503-1.57079632675     		φ = -1.16679530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67932547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.218262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16679530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.852446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100568 KachelY 98616 1.67932547 -1.16679530 96.218262 -66.852446
    Oben rechts KachelX + 1 100569 KachelY 98616 1.67937340 -1.16679530 96.221008 -66.852446
    Unten links KachelX 100568 KachelY + 1 98617 1.67932547 -1.16681415 96.218262 -66.853526
    Unten rechts KachelX + 1 100569 KachelY + 1 98617 1.67937340 -1.16681415 96.221008 -66.853526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16679530--1.16681415) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dl = 120.093350000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16679530--1.16681415) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dr = 120.093350000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67932547-1.67937340) × cos(-1.16679530) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.393100405250983 × 6371000     		do = 120.037937741336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67932547-1.67937340) × cos(-1.16681415) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.393083072689977 × 6371000     		du = 120.032645035322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16679530)-sin(-1.16681415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393100405250983-0.393083072689977)×R²
    abs(1.67937340-1.67932547)×1.73325610056674e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73325610056674e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73325610056674e-05×40589641000000     		ar = 14415.4402612774m²