Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100567 / 98599
↖ ↑ ↗
← S 66.834085°
E 96.215515°		 ← 120.15 m → S 66.834085°
E 96.218262°		 →
↑
120.16 m
↓
↑
120.16 m
↓
S 66.835165°
E 96.215515°		 ← 120.15 m →
14 437 m²		 S 66.835165°
E 96.218262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767269134521484 y=0.752254486083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767269134521484 × 217)
    floor (0.767269134521484 × 131072)
    floor (100567.5)     		tx = 100567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752254486083984 × 217)
    floor (0.752254486083984 × 131072)
    floor (98599.5)     		ty = 98599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100567 / 98599 ti = "17/100567/98599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100567/98599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100567 ÷ 217
    100567 ÷ 131072     		x = 0.767265319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98599 ÷ 217
    98599 ÷ 131072     		y = 0.752250671386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767265319824219 × 2 - 1) × π
    0.534530639648438 × 3.1415926535     		Λ = 1.67927753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752250671386719 × 2 - 1) × π
    -0.504501342773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.58493771213792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67927753} λ = 1.67927753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58493771213792))-π/2
    2×atan(0.204960559274253)-π/2
    2×0.202160746512898-π/2
    0.404321493025796-1.57079632675     		φ = -1.16647483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67927753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.215515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16647483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.834085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100567 KachelY 98599 1.67927753 -1.16647483 96.215515 -66.834085
    Oben rechts KachelX + 1 100568 KachelY 98599 1.67932547 -1.16647483 96.218262 -66.834085
    Unten links KachelX 100567 KachelY + 1 98600 1.67927753 -1.16649369 96.215515 -66.835165
    Unten rechts KachelX + 1 100568 KachelY + 1 98600 1.67932547 -1.16649369 96.218262 -66.835165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16647483--1.16649369) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dl = 120.157059999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16647483--1.16649369) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dr = 120.157059999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67927753-1.67932547) × cos(-1.16647483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393395055799799 × 6371000     		do = 120.152976029916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67927753-1.67932547) × cos(-1.16649369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393377716420526 × 6371000     		du = 120.14768013717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16647483)-sin(-1.16649369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393395055799799-0.393377716420526)×R²
    abs(1.67932547-1.67927753)×1.73393792730625e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73393792730625e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73393792730625e-05×40589641000000     		ar = 14436.9101809416m²