Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100566 / 98615
↖ ↑ ↗
← S 66.851367°
E 96.212768°		 ← 120.07 m → S 66.851367°
E 96.215515°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
S 66.852446°
E 96.212768°		 ← 120.06 m →
14 411 m²		 S 66.852446°
E 96.215515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767261505126953 y=0.752376556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767261505126953 × 217)
    floor (0.767261505126953 × 131072)
    floor (100566.5)     		tx = 100566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752376556396484 × 217)
    floor (0.752376556396484 × 131072)
    floor (98615.5)     		ty = 98615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100566 / 98615 ti = "17/100566/98615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100566/98615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100566 ÷ 217
    100566 ÷ 131072     		x = 0.767257690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98615 ÷ 217
    98615 ÷ 131072     		y = 0.752372741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767257690429688 × 2 - 1) × π
    0.534515380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67922959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752372741699219 × 2 - 1) × π
    -0.504745483398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.58570470253184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67922959} λ = 1.67922959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58570470253184))-π/2
    2×atan(0.204803416765258)-π/2
    2×0.202009934580693-π/2
    0.404019869161385-1.57079632675     		φ = -1.16677646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67922959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.212768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16677646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.851367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100566 KachelY 98615 1.67922959 -1.16677646 96.212768 -66.851367
    Oben rechts KachelX + 1 100567 KachelY 98615 1.67927753 -1.16677646 96.215515 -66.851367
    Unten links KachelX 100566 KachelY + 1 98616 1.67922959 -1.16679530 96.212768 -66.852446
    Unten rechts KachelX + 1 100567 KachelY + 1 98616 1.67927753 -1.16679530 96.215515 -66.852446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16677646--1.16679530) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dl = 120.029640000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16677646--1.16679530) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dr = 120.029640000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67922959-1.67927753) × cos(-1.16677646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39311772847743 × 6371000     		do = 120.068273127259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67922959-1.67927753) × cos(-1.16679530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393100405250983 × 6371000     		du = 120.062982168003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16677646)-sin(-1.16679530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39311772847743-0.393100405250983)×R²
    abs(1.67927753-1.67922959)×1.73232264468193e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73232264468193e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73232264468193e-05×40589641000000     		ar = 14411.4340634208m²