Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100566 / 101391
↖ ↑ ↗
← S 69.671404°
E 96.212768°		 ← 106.11 m → S 69.671404°
E 96.215515°		 →
↑
106.08 m
↓
↑
106.08 m
↓
S 69.672358°
E 96.212768°		 ← 106.10 m →
11 255 m²		 S 69.672358°
E 96.215515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767261505126953 y=0.773555755615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767261505126953 × 217)
    floor (0.767261505126953 × 131072)
    floor (100566.5)     		tx = 100566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773555755615234 × 217)
    floor (0.773555755615234 × 131072)
    floor (101391.5)     		ty = 101391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100566 / 101391 ti = "17/100566/101391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100566/101391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100566 ÷ 217
    100566 ÷ 131072     		x = 0.767257690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101391 ÷ 217
    101391 ÷ 131072     		y = 0.773551940917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767257690429688 × 2 - 1) × π
    0.534515380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67922959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773551940917969 × 2 - 1) × π
    -0.547103881835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.71877753587711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67922959} λ = 1.67922959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71877753587711))-π/2
    2×atan(0.179285183707362)-π/2
    2×0.177400468959326-π/2
    0.354800937918651-1.57079632675     		φ = -1.21599539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67922959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.212768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21599539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.671404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100566 KachelY 101391 1.67922959 -1.21599539 96.212768 -69.671404
    Oben rechts KachelX + 1 100567 KachelY 101391 1.67927753 -1.21599539 96.215515 -69.671404
    Unten links KachelX 100566 KachelY + 1 101392 1.67922959 -1.21601204 96.212768 -69.672358
    Unten rechts KachelX + 1 100567 KachelY + 1 101392 1.67927753 -1.21601204 96.215515 -69.672358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21599539--1.21601204) × R
    1.66500000000624e-05 × 6371000     		dl = 106.077150000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21599539--1.21601204) × R
    1.66500000000624e-05 × 6371000     		dr = 106.077150000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67922959-1.67927753) × cos(-1.21599539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347403707434863 × 6371000     		do = 106.106034421967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67922959-1.67927753) × cos(-1.21601204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347388094420926 × 6371000     		du = 106.101265805632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21599539)-sin(-1.21601204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347403707434863-0.347388094420926)×R²
    abs(1.67927753-1.67922959)×1.56130139372102e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56130139372102e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56130139372102e-05×40589641000000     		ar = 11255.1728088927m²