Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100565 / 100079
↖ ↑ ↗
← S 68.381985°
E 96.210022°		 ← 112.50 m → S 68.381985°
E 96.212768°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
S 68.382996°
E 96.210022°		 ← 112.50 m →
12 657 m²		 S 68.382996°
E 96.212768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767253875732422 y=0.763545989990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767253875732422 × 217)
    floor (0.767253875732422 × 131072)
    floor (100565.5)     		tx = 100565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763545989990234 × 217)
    floor (0.763545989990234 × 131072)
    floor (100079.5)     		ty = 100079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100565 / 100079 ti = "17/100565/100079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100565/100079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100565 ÷ 217
    100565 ÷ 131072     		x = 0.767250061035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100079 ÷ 217
    100079 ÷ 131072     		y = 0.763542175292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767250061035156 × 2 - 1) × π
    0.534500122070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.67918166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763542175292969 × 2 - 1) × π
    -0.527084350585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.6558843235756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67918166} λ = 1.67918166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6558843235756))-π/2
    2×atan(0.190923143193161)-π/2
    2×0.188652774329688-π/2
    0.377305548659377-1.57079632675     		φ = -1.19349078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67918166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.210022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19349078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.381985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100565 KachelY 100079 1.67918166 -1.19349078 96.210022 -68.381985
    Oben rechts KachelX + 1 100566 KachelY 100079 1.67922959 -1.19349078 96.212768 -68.381985
    Unten links KachelX 100565 KachelY + 1 100080 1.67918166 -1.19350844 96.210022 -68.382996
    Unten rechts KachelX + 1 100566 KachelY + 1 100080 1.67922959 -1.19350844 96.212768 -68.382996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19349078--1.19350844) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dl = 112.511859999487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19349078--1.19350844) × R
    1.76599999999194e-05 × 6371000     		dr = 112.511859999487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67918166-1.67922959) × cos(-1.19349078) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.368416882581964 × 6371000     		do = 112.500527151569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67918166-1.67922959) × cos(-1.19350844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36840046471671 × 6371000     		du = 112.495513758907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19349078)-sin(-1.19350844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368416882581964-0.36840046471671)×R²
    abs(1.67922959-1.67918166)×1.641786525447e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.641786525447e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.641786525447e-05×40589641000000     		ar = 12657.3615280025m²