Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100564 / 99985
↖ ↑ ↗
← S 68.286668°
E 96.207275°		 ← 113 m → S 68.286668°
E 96.210022°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 68.287684°
E 96.207275°		 ← 112.99 m →
12 764 m²		 S 68.287684°
E 96.210022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767246246337891 y=0.762828826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767246246337891 × 217)
    floor (0.767246246337891 × 131072)
    floor (100564.5)     		tx = 100564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762828826904297 × 217)
    floor (0.762828826904297 × 131072)
    floor (99985.5)     		ty = 99985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100564 / 99985 ti = "17/100564/99985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100564/99985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100564 ÷ 217
    100564 ÷ 131072     		x = 0.767242431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99985 ÷ 217
    99985 ÷ 131072     		y = 0.762825012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767242431640625 × 2 - 1) × π
    0.53448486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67913372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762825012207031 × 2 - 1) × π
    -0.525650024414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.65137825501131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67913372} λ = 1.67913372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65137825501131))-π/2
    2×atan(0.191785397195745)-π/2
    2×0.189484570846847-π/2
    0.378969141693695-1.57079632675     		φ = -1.19182719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67913372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.207275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19182719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.286668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100564 KachelY 99985 1.67913372 -1.19182719 96.207275 -68.286668
    Oben rechts KachelX + 1 100565 KachelY 99985 1.67918166 -1.19182719 96.210022 -68.286668
    Unten links KachelX 100564 KachelY + 1 99986 1.67913372 -1.19184492 96.207275 -68.287684
    Unten rechts KachelX + 1 100565 KachelY + 1 99986 1.67918166 -1.19184492 96.210022 -68.287684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19182719--1.19184492) × R
    1.77300000001601e-05 × 6371000     		dl = 112.95783000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19182719--1.19184492) × R
    1.77300000001601e-05 × 6371000     		dr = 112.95783000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67913372-1.67918166) × cos(-1.19182719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369962946295172 × 6371000     		do = 112.996206644709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67913372-1.67918166) × cos(-1.19184492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369946474242395 × 6371000     		du = 112.9911756558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19182719)-sin(-1.19184492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369962946295172-0.369946474242395)×R²
    abs(1.67918166-1.67913372)×1.64720527769946e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64720527769946e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64720527769946e-05×40589641000000     		ar = 12763.522156518m²