Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100563 / 98617
↖ ↑ ↗
← S 66.853526°
E 96.204529°		 ← 120.06 m → S 66.853526°
E 96.207275°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
S 66.854606°
E 96.204529°		 ← 120.05 m →
14 410 m²		 S 66.854606°
E 96.207275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767238616943359 y=0.752391815185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767238616943359 × 217)
    floor (0.767238616943359 × 131072)
    floor (100563.5)     		tx = 100563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752391815185547 × 217)
    floor (0.752391815185547 × 131072)
    floor (98617.5)     		ty = 98617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100563 / 98617 ti = "17/100563/98617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100563/98617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100563 ÷ 217
    100563 ÷ 131072     		x = 0.767234802246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98617 ÷ 217
    98617 ÷ 131072     		y = 0.752388000488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767234802246094 × 2 - 1) × π
    0.534469604492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.67908578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752388000488281 × 2 - 1) × π
    -0.504776000976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.58580057633108
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67908578} λ = 1.67908578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58580057633108))-π/2
    2×atan(0.20478378242482)-π/2
    2×0.201991090566111-π/2
    0.403982181132223-1.57079632675     		φ = -1.16681415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67908578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.204529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16681415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.853526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100563 KachelY 98617 1.67908578 -1.16681415 96.204529 -66.853526
    Oben rechts KachelX + 1 100564 KachelY 98617 1.67913372 -1.16681415 96.207275 -66.853526
    Unten links KachelX 100563 KachelY + 1 98618 1.67908578 -1.16683299 96.204529 -66.854606
    Unten rechts KachelX + 1 100564 KachelY + 1 98618 1.67913372 -1.16683299 96.207275 -66.854606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16681415--1.16683299) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dl = 120.029640000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16681415--1.16683299) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dr = 120.029640000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67908578-1.67913372) × cos(-1.16681415) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393083072689977 × 6371000     		do = 120.057688357731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67908578-1.67913372) × cos(-1.16683299) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393065749184404 × 6371000     		du = 120.052397313222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16681415)-sin(-1.16683299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393083072689977-0.393065749184404)×R²
    abs(1.67913372-1.67908578)×1.73235055732635e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73235055732635e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73235055732635e-05×40589641000000     		ar = 14410.1635723376m²