Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100563 / 100025
↖ ↑ ↗
← S 68.327277°
E 96.204529°		 ← 112.80 m → S 68.327277°
E 96.207275°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
S 68.328291°
E 96.204529°		 ← 112.79 m →
12 719 m²		 S 68.328291°
E 96.207275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767238616943359 y=0.763134002685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767238616943359 × 217)
    floor (0.767238616943359 × 131072)
    floor (100563.5)     		tx = 100563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763134002685547 × 217)
    floor (0.763134002685547 × 131072)
    floor (100025.5)     		ty = 100025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100563 / 100025 ti = "17/100563/100025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100563/100025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100563 ÷ 217
    100563 ÷ 131072     		x = 0.767234802246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100025 ÷ 217
    100025 ÷ 131072     		y = 0.763130187988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767234802246094 × 2 - 1) × π
    0.534469604492188 × 3.1415926535     		Λ = 1.67908578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763130187988281 × 2 - 1) × π
    -0.526260375976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.65329573099612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67908578} λ = 1.67908578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65329573099612))-π/2
    2×atan(0.191418005647189)-π/2
    2×0.189130189085671-π/2
    0.378260378171342-1.57079632675     		φ = -1.19253595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67908578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.204529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19253595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.327277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100563 KachelY 100025 1.67908578 -1.19253595 96.204529 -68.327277
    Oben rechts KachelX + 1 100564 KachelY 100025 1.67913372 -1.19253595 96.207275 -68.327277
    Unten links KachelX 100563 KachelY + 1 100026 1.67908578 -1.19255365 96.204529 -68.328291
    Unten rechts KachelX + 1 100564 KachelY + 1 100026 1.67913372 -1.19255365 96.207275 -68.328291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19253595--1.19255365) × R
    1.77000000001204e-05 × 6371000     		dl = 112.766700000767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19253595--1.19255365) × R
    1.77000000001204e-05 × 6371000     		dr = 112.766700000767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67908578-1.67913372) × cos(-1.19253595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369304382421909 × 6371000     		do = 112.795064286381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67908578-1.67913372) × cos(-1.19255365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369287933603754 × 6371000     		du = 112.790040393923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19253595)-sin(-1.19255365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369304382421909-0.369287933603754)×R²
    abs(1.67913372-1.67908578)×1.64488181556566e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64488181556566e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64488181556566e-05×40589641000000     		ar = 12719.2439123209m²