Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100562 / 99538
↖ ↑ ↗
← S 67.827910°
E 96.201782°		 ← 115.24 m → S 67.827910°
E 96.204529°		 →
↑
115.25 m
↓
↑
115.25 m
↓
S 67.828946°
E 96.201782°		 ← 115.24 m →
13 281 m²		 S 67.828946°
E 96.204529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767230987548828 y=0.759418487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767230987548828 × 217)
    floor (0.767230987548828 × 131072)
    floor (100562.5)     		tx = 100562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759418487548828 × 217)
    floor (0.759418487548828 × 131072)
    floor (99538.5)     		ty = 99538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100562 / 99538 ti = "17/100562/99538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100562/99538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100562 ÷ 217
    100562 ÷ 131072     		x = 0.767227172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99538 ÷ 217
    99538 ÷ 131072     		y = 0.759414672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767227172851562 × 2 - 1) × π
    0.534454345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67903785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759414672851562 × 2 - 1) × π
    -0.518829345703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62995046088115
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67903785} λ = 1.67903785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62995046088115))-π/2
    2×atan(0.19593928054579)-π/2
    2×0.193487990335405-π/2
    0.38697598067081-1.57079632675     		φ = -1.18382035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67903785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.201782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18382035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.827910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100562 KachelY 99538 1.67903785 -1.18382035 96.201782 -67.827910
    Oben rechts KachelX + 1 100563 KachelY 99538 1.67908578 -1.18382035 96.204529 -67.827910
    Unten links KachelX 100562 KachelY + 1 99539 1.67903785 -1.18383844 96.201782 -67.828946
    Unten rechts KachelX + 1 100563 KachelY + 1 99539 1.67908578 -1.18383844 96.204529 -67.828946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18382035--1.18383844) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dl = 115.251389999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18382035--1.18383844) × R
    1.80899999999706e-05 × 6371000     		dr = 115.251389999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67903785-1.67908578) × cos(-1.18382035) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377389734570139 × 6371000     		do = 115.240495449569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67903785-1.67908578) × cos(-1.18383844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377372982181984 × 6371000     		du = 115.235379906315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18382035)-sin(-1.18383844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377389734570139-0.377372982181984)×R²
    abs(1.67908578-1.67903785)×1.67523881549059e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67523881549059e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67523881549059e-05×40589641000000     		ar = 13281.332498415m²