Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100562 / 98804
↖ ↑ ↗
← S 67.054587°
E 96.201782°		 ← 119.05 m → S 67.054587°
E 96.204529°		 →
↑
119.07 m
↓
↑
119.07 m
↓
S 67.055658°
E 96.201782°		 ← 119.04 m →
14 175 m²		 S 67.055658°
E 96.204529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767230987548828 y=0.753818511962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767230987548828 × 217)
    floor (0.767230987548828 × 131072)
    floor (100562.5)     		tx = 100562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753818511962891 × 217)
    floor (0.753818511962891 × 131072)
    floor (98804.5)     		ty = 98804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100562 / 98804 ti = "17/100562/98804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100562/98804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100562 ÷ 217
    100562 ÷ 131072     		x = 0.767227172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98804 ÷ 217
    98804 ÷ 131072     		y = 0.753814697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767227172851562 × 2 - 1) × π
    0.534454345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67903785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.50762939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59476477656003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67903785} λ = 1.67903785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59476477656003))-π/2
    2×atan(0.202956262958529)-π/2
    2×0.200236497632032-π/2
    0.400472995264064-1.57079632675     		φ = -1.17032333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67903785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.201782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17032333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.054587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100562 KachelY 98804 1.67903785 -1.17032333 96.201782 -67.054587
    Oben rechts KachelX + 1 100563 KachelY 98804 1.67908578 -1.17032333 96.204529 -67.054587
    Unten links KachelX 100562 KachelY + 1 98805 1.67903785 -1.17034202 96.201782 -67.055658
    Unten rechts KachelX + 1 100563 KachelY + 1 98805 1.67908578 -1.17034202 96.204529 -67.055658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17032333--1.17034202) × R
    1.86900000000989e-05 × 6371000     		dl = 119.07399000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17032333--1.17034202) × R
    1.86900000000989e-05 × 6371000     		dr = 119.07399000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67903785-1.67908578) × cos(-1.17032333) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389853957628976 × 6371000     		do = 119.046595905191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67903785-1.67908578) × cos(-1.17034202) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.389836746375413 × 6371000     		du = 119.041340241864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17032333)-sin(-1.17034202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389853957628976-0.389836746375413)×R²
    abs(1.67908578-1.67903785)×1.7211253563687e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7211253563687e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7211253563687e-05×40589641000000     		ar = 14175.0402644866m²