Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100561 / 101360
↖ ↑ ↗
← S 69.641804°
E 96.199036°		 ← 106.25 m → S 69.641804°
E 96.201782°		 →
↑
106.27 m
↓
↑
106.27 m
↓
S 69.642759°
E 96.199036°		 ← 106.25 m →
11 291 m²		 S 69.642759°
E 96.201782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767223358154297 y=0.773319244384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767223358154297 × 217)
    floor (0.767223358154297 × 131072)
    floor (100561.5)     		tx = 100561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773319244384766 × 217)
    floor (0.773319244384766 × 131072)
    floor (101360.5)     		ty = 101360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100561 / 101360 ti = "17/100561/101360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100561/101360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100561 ÷ 217
    100561 ÷ 131072     		x = 0.767219543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101360 ÷ 217
    101360 ÷ 131072     		y = 0.7733154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767219543457031 × 2 - 1) × π
    0.534439086914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.67898991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7733154296875 × 2 - 1) × π
    -0.546630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.71729149198889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67898991} λ = 1.67898991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71729149198889))-π/2
    2×atan(0.17955180741706)-π/2
    2×0.177658777459642-π/2
    0.355317554919284-1.57079632675     		φ = -1.21547877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67898991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.199036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21547877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.641804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100561 KachelY 101360 1.67898991 -1.21547877 96.199036 -69.641804
    Oben rechts KachelX + 1 100562 KachelY 101360 1.67903785 -1.21547877 96.201782 -69.641804
    Unten links KachelX 100561 KachelY + 1 101361 1.67898991 -1.21549545 96.199036 -69.642759
    Unten rechts KachelX + 1 100562 KachelY + 1 101361 1.67903785 -1.21549545 96.201782 -69.642759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21547877--1.21549545) × R
    1.66799999998801e-05 × 6371000     		dl = 106.268279999236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21547877--1.21549545) × R
    1.66799999998801e-05 × 6371000     		dr = 106.268279999236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67898991-1.67903785) × cos(-1.21547877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347888103718606 × 6371000     		do = 106.253981515382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67898991-1.67903785) × cos(-1.21549545) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3478724655687 × 6371000     		du = 106.249205221875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21547877)-sin(-1.21549545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347888103718606-0.3478724655687)×R²
    abs(1.67903785-1.67898991)×1.56381499061276e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56381499061276e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56381499061276e-05×40589641000000     		ar = 11291.1740747817m²