Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100560 / 98797
↖ ↑ ↗
← S 67.047091°
E 96.196289°		 ← 119.11 m → S 67.047091°
E 96.199036°		 →
↑
119.14 m
↓
↑
119.14 m
↓
S 67.048162°
E 96.196289°		 ← 119.10 m →
14 190 m²		 S 67.048162°
E 96.199036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767215728759766 y=0.753765106201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767215728759766 × 217)
    floor (0.767215728759766 × 131072)
    floor (100560.5)     		tx = 100560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753765106201172 × 217)
    floor (0.753765106201172 × 131072)
    floor (98797.5)     		ty = 98797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100560 / 98797 ti = "17/100560/98797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100560/98797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100560 ÷ 217
    100560 ÷ 131072     		x = 0.7672119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98797 ÷ 217
    98797 ÷ 131072     		y = 0.753761291503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7672119140625 × 2 - 1) × π
    0.534423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67894197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753761291503906 × 2 - 1) × π
    -0.507522583007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.59442921826269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67894197} λ = 1.67894197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59442921826269))-π/2
    2×atan(0.203024378044214)-π/2
    2×0.200301917103769-π/2
    0.400603834207538-1.57079632675     		φ = -1.17019249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67894197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.196289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17019249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.047091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100560 KachelY 98797 1.67894197 -1.17019249 96.196289 -67.047091
    Oben rechts KachelX + 1 100561 KachelY 98797 1.67898991 -1.17019249 96.199036 -67.047091
    Unten links KachelX 100560 KachelY + 1 98798 1.67894197 -1.17021119 96.196289 -67.048162
    Unten rechts KachelX + 1 100561 KachelY + 1 98798 1.67898991 -1.17021119 96.199036 -67.048162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17019249--1.17021119) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dl = 119.137700000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17019249--1.17021119) × R
    1.87000000000381e-05 × 6371000     		dr = 119.137700000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67894197-1.67898991) × cos(-1.17019249) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.389974441798738 × 6371000     		do = 119.10823246794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67894197-1.67898991) × cos(-1.17021119) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.38995722229032 × 6371000     		du = 119.102973186839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17019249)-sin(-1.17021119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389974441798738-0.38995722229032)×R²
    abs(1.67898991-1.67894197)×1.72195084183202e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.72195084183202e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.72195084183202e-05×40589641000000     		ar = 14189.9675783958m²