Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100559 / 98801
↖ ↑ ↗
← S 67.051375°
E 96.193543°		 ← 119.06 m → S 67.051375°
E 96.196289°		 →
↑
119.07 m
↓
↑
119.07 m
↓
S 67.052446°
E 96.193543°		 ← 119.06 m →
14 177 m²		 S 67.052446°
E 96.196289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767208099365234 y=0.753795623779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767208099365234 × 217)
    floor (0.767208099365234 × 131072)
    floor (100559.5)     		tx = 100559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753795623779297 × 217)
    floor (0.753795623779297 × 131072)
    floor (98801.5)     		ty = 98801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100559 / 98801 ti = "17/100559/98801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100559/98801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100559 ÷ 217
    100559 ÷ 131072     		x = 0.767204284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98801 ÷ 217
    98801 ÷ 131072     		y = 0.753791809082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767204284667969 × 2 - 1) × π
    0.534408569335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.67889404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753791809082031 × 2 - 1) × π
    -0.507583618164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.59462096586117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67889404} λ = 1.67889404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59462096586117))-π/2
    2×atan(0.202985452339366)-π/2
    2×0.200264532073252-π/2
    0.400529064146505-1.57079632675     		φ = -1.17026726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67889404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.193543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17026726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.051375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100559 KachelY 98801 1.67889404 -1.17026726 96.193543 -67.051375
    Oben rechts KachelX + 1 100560 KachelY 98801 1.67894197 -1.17026726 96.196289 -67.051375
    Unten links KachelX 100559 KachelY + 1 98802 1.67889404 -1.17028595 96.193543 -67.052446
    Unten rechts KachelX + 1 100560 KachelY + 1 98802 1.67894197 -1.17028595 96.196289 -67.052446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17026726--1.17028595) × R
    1.86900000000989e-05 × 6371000     		dl = 119.07399000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17026726--1.17028595) × R
    1.86900000000989e-05 × 6371000     		dr = 119.07399000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67889404-1.67894197) × cos(-1.17026726) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.38990559057255 × 6371000     		do = 119.062362645104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67889404-1.67894197) × cos(-1.17028595) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.389888379727551 × 6371000     		du = 119.057107106537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17026726)-sin(-1.17028595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38990559057255-0.389888379727551)×R²
    abs(1.67894197-1.67889404)×1.72108449988939e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.72108449988939e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.72108449988939e-05×40589641000000     		ar = 14176.917680491m²