Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100559 / 101562
↖ ↑ ↗
← S 69.833942°
E 96.193543°		 ← 105.27 m → S 69.833942°
E 96.196289°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
S 69.834888°
E 96.193543°		 ← 105.27 m →
11 079 m²		 S 69.834888°
E 96.196289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767208099365234 y=0.774860382080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767208099365234 × 217)
    floor (0.767208099365234 × 131072)
    floor (100559.5)     		tx = 100559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774860382080078 × 217)
    floor (0.774860382080078 × 131072)
    floor (101562.5)     		ty = 101562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100559 / 101562 ti = "17/100559/101562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100559/101562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100559 ÷ 217
    100559 ÷ 131072     		x = 0.767204284667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101562 ÷ 217
    101562 ÷ 131072     		y = 0.774856567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767204284667969 × 2 - 1) × π
    0.534408569335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.67889404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774856567382812 × 2 - 1) × π
    -0.549713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72697474571214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67889404} λ = 1.67889404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72697474571214))-π/2
    2×atan(0.177821552477979)-π/2
    2×0.17598205872163-π/2
    0.351964117443259-1.57079632675     		φ = -1.21883221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67889404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.193543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21883221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.833942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100559 KachelY 101562 1.67889404 -1.21883221 96.193543 -69.833942
    Oben rechts KachelX + 1 100560 KachelY 101562 1.67894197 -1.21883221 96.196289 -69.833942
    Unten links KachelX 100559 KachelY + 1 101563 1.67889404 -1.21884873 96.193543 -69.834888
    Unten rechts KachelX + 1 100560 KachelY + 1 101563 1.67894197 -1.21884873 96.196289 -69.834888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21883221--1.21884873) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21883221--1.21884873) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67889404-1.67894197) × cos(-1.21883221) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.344742182583523 × 6371000     		do = 105.271172699912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67889404-1.67894197) × cos(-1.21884873) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.344726675255269 × 6371000     		du = 105.266437350676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21883221)-sin(-1.21884873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344742182583523-0.344726675255269)×R²
    abs(1.67894197-1.67889404)×1.55073282543938e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.55073282543938e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.55073282543938e-05×40589641000000     		ar = 11079.4280387346m²