Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100558 / 101562
↖ ↑ ↗
← S 69.833942°
E 96.190796°		 ← 105.29 m → S 69.833942°
E 96.193543°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
S 69.834888°
E 96.190796°		 ← 105.29 m →
11 082 m²		 S 69.834888°
E 96.193543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767200469970703 y=0.774860382080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767200469970703 × 217)
    floor (0.767200469970703 × 131072)
    floor (100558.5)     		tx = 100558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774860382080078 × 217)
    floor (0.774860382080078 × 131072)
    floor (101562.5)     		ty = 101562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100558 / 101562 ti = "17/100558/101562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100558/101562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100558 ÷ 217
    100558 ÷ 131072     		x = 0.767196655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101562 ÷ 217
    101562 ÷ 131072     		y = 0.774856567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767196655273438 × 2 - 1) × π
    0.534393310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67884610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774856567382812 × 2 - 1) × π
    -0.549713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72697474571214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67884610} λ = 1.67884610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72697474571214))-π/2
    2×atan(0.177821552477979)-π/2
    2×0.17598205872163-π/2
    0.351964117443259-1.57079632675     		φ = -1.21883221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67884610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.190796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21883221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.833942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100558 KachelY 101562 1.67884610 -1.21883221 96.190796 -69.833942
    Oben rechts KachelX + 1 100559 KachelY 101562 1.67889404 -1.21883221 96.193543 -69.833942
    Unten links KachelX 100558 KachelY + 1 101563 1.67884610 -1.21884873 96.190796 -69.834888
    Unten rechts KachelX + 1 100559 KachelY + 1 101563 1.67889404 -1.21884873 96.193543 -69.834888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21883221--1.21884873) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21883221--1.21884873) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67884610-1.67889404) × cos(-1.21883221) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.344742182583523 × 6371000     		do = 105.293136225206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67884610-1.67889404) × cos(-1.21884873) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.344726675255269 × 6371000     		du = 105.288399887999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21883221)-sin(-1.21884873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344742182583523-0.344726675255269)×R²
    abs(1.67889404-1.67884610)×1.55073282543938e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.55073282543938e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.55073282543938e-05×40589641000000     		ar = 11081.7396240598m²