Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100556 / 100045
↖ ↑ ↗
← S 68.347554°
E 96.185302°		 ← 112.69 m → S 68.347554°
E 96.188049°		 →
↑
112.64 m
↓
↑
112.64 m
↓
S 68.348567°
E 96.185302°		 ← 112.69 m →
12 694 m²		 S 68.348567°
E 96.188049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767185211181641 y=0.763286590576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767185211181641 × 217)
    floor (0.767185211181641 × 131072)
    floor (100556.5)     		tx = 100556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763286590576172 × 217)
    floor (0.763286590576172 × 131072)
    floor (100045.5)     		ty = 100045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100556 / 100045 ti = "17/100556/100045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100556/100045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100556 ÷ 217
    100556 ÷ 131072     		x = 0.767181396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100045 ÷ 217
    100045 ÷ 131072     		y = 0.763282775878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767181396484375 × 2 - 1) × π
    0.53436279296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67875022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763282775878906 × 2 - 1) × π
    -0.526565551757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.65425446898852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67875022} λ = 1.67875022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65425446898852))-π/2
    2×atan(0.191234573878299)-π/2
    2×0.188953234859232-π/2
    0.377906469718464-1.57079632675     		φ = -1.19288986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67875022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.185302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19288986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.347554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100556 KachelY 100045 1.67875022 -1.19288986 96.185302 -68.347554
    Oben rechts KachelX + 1 100557 KachelY 100045 1.67879816 -1.19288986 96.188049 -68.347554
    Unten links KachelX 100556 KachelY + 1 100046 1.67875022 -1.19290754 96.185302 -68.348567
    Unten rechts KachelX + 1 100557 KachelY + 1 100046 1.67879816 -1.19290754 96.188049 -68.348567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19288986--1.19290754) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dl = 112.639280000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19288986--1.19290754) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dr = 112.639280000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67875022-1.67879816) × cos(-1.19288986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368975467732296 × 6371000     		do = 112.694605273909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67875022-1.67879816) × cos(-1.19290754) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368959035190736 × 6371000     		du = 112.689586352743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19288986)-sin(-1.19290754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368975467732296-0.368959035190736)×R²
    abs(1.67879816-1.67875022)×1.64325415597522e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64325415597522e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64325415597522e-05×40589641000000     		ar = 12693.5565342726m²