Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100554 / 101369
↖ ↑ ↗
← S 69.650401°
E 96.179810°		 ← 106.21 m → S 69.650401°
E 96.182556°		 →
↑
106.20 m
↓
↑
106.20 m
↓
S 69.651357°
E 96.179810°		 ← 106.21 m →
11 280 m²		 S 69.651357°
E 96.182556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767169952392578 y=0.773387908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767169952392578 × 217)
    floor (0.767169952392578 × 131072)
    floor (100554.5)     		tx = 100554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773387908935547 × 217)
    floor (0.773387908935547 × 131072)
    floor (101369.5)     		ty = 101369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100554 / 101369 ti = "17/100554/101369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100554/101369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100554 ÷ 217
    100554 ÷ 131072     		x = 0.767166137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101369 ÷ 217
    101369 ÷ 131072     		y = 0.773384094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767166137695312 × 2 - 1) × π
    0.534332275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67865435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773384094238281 × 2 - 1) × π
    -0.546768188476562 × 3.1415926535     		Φ = -1.71772292408547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67865435} λ = 1.67865435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71772292408547))-π/2
    2×atan(0.179474359712256)-π/2
    2×0.177583747588504-π/2
    0.355167495177008-1.57079632675     		φ = -1.21562883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67865435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.179810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21562883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.650401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100554 KachelY 101369 1.67865435 -1.21562883 96.179810 -69.650401
    Oben rechts KachelX + 1 100555 KachelY 101369 1.67870229 -1.21562883 96.182556 -69.650401
    Unten links KachelX 100554 KachelY + 1 101370 1.67865435 -1.21564550 96.179810 -69.651357
    Unten rechts KachelX + 1 100555 KachelY + 1 101370 1.67870229 -1.21564550 96.182556 -69.651357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21562883--1.21564550) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dl = 106.204569999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21562883--1.21564550) × R
    1.66699999999409e-05 × 6371000     		dr = 106.204569999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67865435-1.67870229) × cos(-1.21562883) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347747413140819 × 6371000     		do = 106.211010991551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67865435-1.67870229) × cos(-1.21564550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347731783496285 × 6371000     		du = 106.206237295803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21562883)-sin(-1.21564550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347747413140819-0.347731783496285)×R²
    abs(1.67870229-1.67865435)×1.56296445342208e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56296445342208e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56296445342208e-05×40589641000000     		ar = 11279.8412576546m²