Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100554 / 100053
↖ ↑ ↗
← S 68.355660°
E 96.179810°		 ← 112.65 m → S 68.355660°
E 96.182556°		 →
↑
112.64 m
↓
↑
112.64 m
↓
S 68.356673°
E 96.179810°		 ← 112.65 m →
12 689 m²		 S 68.356673°
E 96.182556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767169952392578 y=0.763347625732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767169952392578 × 217)
    floor (0.767169952392578 × 131072)
    floor (100554.5)     		tx = 100554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763347625732422 × 217)
    floor (0.763347625732422 × 131072)
    floor (100053.5)     		ty = 100053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100554 / 100053 ti = "17/100554/100053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100554/100053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100554 ÷ 217
    100554 ÷ 131072     		x = 0.767166137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100053 ÷ 217
    100053 ÷ 131072     		y = 0.763343811035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767166137695312 × 2 - 1) × π
    0.534332275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67865435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763343811035156 × 2 - 1) × π
    -0.526687622070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.65463796418548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67865435} λ = 1.67865435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65463796418548))-π/2
    2×atan(0.191161250398223)-π/2
    2×0.188882497306546-π/2
    0.377764994613091-1.57079632675     		φ = -1.19303133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67865435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.179810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19303133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.355660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100554 KachelY 100053 1.67865435 -1.19303133 96.179810 -68.355660
    Oben rechts KachelX + 1 100555 KachelY 100053 1.67870229 -1.19303133 96.182556 -68.355660
    Unten links KachelX 100554 KachelY + 1 100054 1.67865435 -1.19304901 96.179810 -68.356673
    Unten rechts KachelX + 1 100555 KachelY + 1 100054 1.67870229 -1.19304901 96.182556 -68.356673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19303133--1.19304901) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dl = 112.639280000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19303133--1.19304901) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dr = 112.639280000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67865435-1.67870229) × cos(-1.19303133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368843976286124 × 6371000     		do = 112.654444401658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67865435-1.67870229) × cos(-1.19304901) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368827542821871 × 6371000     		du = 112.649425198678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19303133)-sin(-1.19304901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368843976286124-0.368827542821871)×R²
    abs(1.67870229-1.67865435)×1.64334642523412e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64334642523412e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64334642523412e-05×40589641000000     		ar = 12689.0328268793m²