Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100553 / 101367
↖ ↑ ↗
← S 69.648491°
E 96.177063°		 ← 106.22 m → S 69.648491°
E 96.179810°		 →
↑
106.20 m
↓
↑
106.20 m
↓
S 69.649446°
E 96.177063°		 ← 106.22 m →
11 281 m²		 S 69.649446°
E 96.179810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767162322998047 y=0.773372650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767162322998047 × 217)
    floor (0.767162322998047 × 131072)
    floor (100553.5)     		tx = 100553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773372650146484 × 217)
    floor (0.773372650146484 × 131072)
    floor (101367.5)     		ty = 101367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100553 / 101367 ti = "17/100553/101367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100553/101367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100553 ÷ 217
    100553 ÷ 131072     		x = 0.767158508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101367 ÷ 217
    101367 ÷ 131072     		y = 0.773368835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767158508300781 × 2 - 1) × π
    0.534317016601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.67860641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773368835449219 × 2 - 1) × π
    -0.546737670898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.71762705028623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67860641} λ = 1.67860641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71762705028623))-π/2
    2×atan(0.179491567425859)-π/2
    2×0.177600418270519-π/2
    0.355200836541038-1.57079632675     		φ = -1.21559549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67860641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.177063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21559549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.648491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100553 KachelY 101367 1.67860641 -1.21559549 96.177063 -69.648491
    Oben rechts KachelX + 1 100554 KachelY 101367 1.67865435 -1.21559549 96.179810 -69.648491
    Unten links KachelX 100553 KachelY + 1 101368 1.67860641 -1.21561216 96.177063 -69.649446
    Unten rechts KachelX + 1 100554 KachelY + 1 101368 1.67865435 -1.21561216 96.179810 -69.649446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21559549--1.21561216) × R
    1.66700000001629e-05 × 6371000     		dl = 106.204570001038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21559549--1.21561216) × R
    1.66700000001629e-05 × 6371000     		dr = 106.204570001038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67860641-1.67865435) × cos(-1.21559549) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347778672139978 × 6371000     		do = 106.2205582945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67860641-1.67865435) × cos(-1.21561216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.347763042688718 × 6371000     		du = 106.215784657784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21559549)-sin(-1.21561216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347778672139978-0.347763042688718)×R²
    abs(1.67865435-1.67860641)×1.56294512598243e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.56294512598243e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.56294512598243e-05×40589641000000     		ar = 11280.8552280811m²