Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100552 / 100040
↖ ↑ ↗
← S 68.342487°
E 96.174317°		 ← 112.70 m → S 68.342487°
E 96.177063°		 →
↑
112.70 m
↓
↑
112.70 m
↓
S 68.343500°
E 96.174317°		 ← 112.69 m →
12 701 m²		 S 68.343500°
E 96.177063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767154693603516 y=0.763248443603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767154693603516 × 217)
    floor (0.767154693603516 × 131072)
    floor (100552.5)     		tx = 100552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763248443603516 × 217)
    floor (0.763248443603516 × 131072)
    floor (100040.5)     		ty = 100040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100552 / 100040 ti = "17/100552/100040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100552/100040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100552 ÷ 217
    100552 ÷ 131072     		x = 0.76715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100040 ÷ 217
    100040 ÷ 131072     		y = 0.76324462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76715087890625 × 2 - 1) × π
    0.5343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67855848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.5264892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65401478449042
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67855848} λ = 1.67855848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65401478449042))-π/2
    2×atan(0.191280415334682)-π/2
    2×0.188997458635127-π/2
    0.377994917270255-1.57079632675     		φ = -1.19280141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67855848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.174317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19280141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.342487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100552 KachelY 100040 1.67855848 -1.19280141 96.174317 -68.342487
    Oben rechts KachelX + 1 100553 KachelY 100040 1.67860641 -1.19280141 96.177063 -68.342487
    Unten links KachelX 100552 KachelY + 1 100041 1.67855848 -1.19281910 96.174317 -68.343500
    Unten rechts KachelX + 1 100553 KachelY + 1 100041 1.67860641 -1.19281910 96.177063 -68.343500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19280141--1.19281910) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dl = 112.70298999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19280141--1.19281910) × R
    1.76899999999591e-05 × 6371000     		dr = 112.70298999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67855848-1.67860641) × cos(-1.19280141) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369057675180288 × 6371000     		do = 112.696200880202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67855848-1.67860641) × cos(-1.19281910) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369041233921652 × 6371000     		du = 112.69118034409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19280141)-sin(-1.19281910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369057675180288-0.369041233921652)×R²
    abs(1.67860641-1.67855848)×1.64412586360352e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64412586360352e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64412586360352e-05×40589641000000     		ar = 12700.9158864316m²