Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10055 / 18375
↖ ↑ ↗
← N 61.754931°
W124.766235°		 ← 289.05 m → N 61.754931°
W124.760742°		 →
↑
289.12 m
↓
↑
289.12 m
↓
N 61.752331°
W124.766235°		 ← 289.08 m →
83 573 m²		 N 61.752331°
W124.760742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153434753417969 y=0.280387878417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153434753417969 × 216)
    floor (0.153434753417969 × 65536)
    floor (10055.5)     		tx = 10055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.280387878417969 × 216)
    floor (0.280387878417969 × 65536)
    floor (18375.5)     		ty = 18375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10055 / 18375 ti = "16/10055/18375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10055/18375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10055 ÷ 216
    10055 ÷ 65536     		x = 0.153427124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18375 ÷ 216
    18375 ÷ 65536     		y = 0.280380249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153427124023438 × 2 - 1) × π
    -0.693145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.17758160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.280380249023438 × 2 - 1) × π
    0.439239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.37991159246294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17758160} λ = -2.17758160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37991159246294))-π/2
    2×atan(3.97455023176504)-π/2
    2×1.32431160103433-π/2
    2.64862320206866-1.57079632675     		φ = 1.07782688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17758160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.766235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07782688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.754931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10055 KachelY 18375 -2.17758160 1.07782688 -124.766235 61.754931
    Oben rechts KachelX + 1 10056 KachelY 18375 -2.17748573 1.07782688 -124.760742 61.754931
    Unten links KachelX 10055 KachelY + 1 18376 -2.17758160 1.07778150 -124.766235 61.752331
    Unten rechts KachelX + 1 10056 KachelY + 1 18376 -2.17748573 1.07778150 -124.760742 61.752331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07782688-1.07778150) × R
    4.53799999999838e-05 × 6371000     		dl = 289.115979999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07782688-1.07778150) × R
    4.53799999999838e-05 × 6371000     		dr = 289.115979999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17758160--2.17748573) × cos(1.07782688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.473243849902525 × 6371000     		do = 289.051555748172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17758160--2.17748573) × cos(1.07778150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.473283826085429 × 6371000     		du = 289.075972711781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07782688)-sin(1.07778150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.473243849902525-0.473283826085429)×R²
    abs(-2.17748573--2.17758160)×3.99761829039114e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.99761829039114e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.99761829039114e-05×40589641000000     		ar = 83572.9534920274m²