Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100549 / 99477
↖ ↑ ↗
← S 67.764596°
E 96.166077°		 ← 115.55 m → S 67.764596°
E 96.168823°		 →
↑
115.57 m
↓
↑
115.57 m
↓
S 67.765635°
E 96.166077°		 ← 115.55 m →
13 354 m²		 S 67.765635°
E 96.168823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767131805419922 y=0.758953094482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767131805419922 × 217)
    floor (0.767131805419922 × 131072)
    floor (100549.5)     		tx = 100549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758953094482422 × 217)
    floor (0.758953094482422 × 131072)
    floor (99477.5)     		ty = 99477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100549 / 99477 ti = "17/100549/99477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100549/99477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100549 ÷ 217
    100549 ÷ 131072     		x = 0.767127990722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99477 ÷ 217
    99477 ÷ 131072     		y = 0.758949279785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767127990722656 × 2 - 1) × π
    0.534255981445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.67841467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758949279785156 × 2 - 1) × π
    -0.517898559570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.62702631000433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67841467} λ = 1.67841467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62702631000433))-π/2
    2×atan(0.196513075086847)-π/2
    2×0.194040510243154-π/2
    0.388081020486307-1.57079632675     		φ = -1.18271531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67841467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.166077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18271531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.764596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100549 KachelY 99477 1.67841467 -1.18271531 96.166077 -67.764596
    Oben rechts KachelX + 1 100550 KachelY 99477 1.67846260 -1.18271531 96.168823 -67.764596
    Unten links KachelX 100549 KachelY + 1 99478 1.67841467 -1.18273345 96.166077 -67.765635
    Unten rechts KachelX + 1 100550 KachelY + 1 99478 1.67846260 -1.18273345 96.168823 -67.765635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18271531--1.18273345) × R
    1.81399999998888e-05 × 6371000     		dl = 115.569939999292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18271531--1.18273345) × R
    1.81399999998888e-05 × 6371000     		dr = 115.569939999292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67841467-1.67846260) × cos(-1.18271531) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378412831239335 × 6371000     		do = 115.552910325361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67841467-1.67846260) × cos(-1.18273345) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.378396040123136 × 6371000     		du = 115.547782956033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18271531)-sin(-1.18273345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378412831239335-0.378396040123136)×R²
    abs(1.67846260-1.67841467)×1.67911161985113e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67911161985113e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67911161985113e-05×40589641000000     		ar = 13354.1466284163m²