Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100548 / 101557
↖ ↑ ↗
← S 69.829207°
E 96.163330°		 ← 105.32 m → S 69.829207°
E 96.166077°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
S 69.830154°
E 96.163330°		 ← 105.31 m →
11 091 m²		 S 69.830154°
E 96.166077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767124176025391 y=0.774822235107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767124176025391 × 217)
    floor (0.767124176025391 × 131072)
    floor (100548.5)     		tx = 100548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774822235107422 × 217)
    floor (0.774822235107422 × 131072)
    floor (101557.5)     		ty = 101557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100548 / 101557 ti = "17/100548/101557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100548/101557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100548 ÷ 217
    100548 ÷ 131072     		x = 0.767120361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101557 ÷ 217
    101557 ÷ 131072     		y = 0.774818420410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767120361328125 × 2 - 1) × π
    0.53424072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67836673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774818420410156 × 2 - 1) × π
    -0.549636840820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.72673506121404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67836673} λ = 1.67836673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72673506121404))-π/2
    2×atan(0.177864178655749)-π/2
    2×0.176023378048227-π/2
    0.352046756096455-1.57079632675     		φ = -1.21874957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67836673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.163330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21874957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.829207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100548 KachelY 101557 1.67836673 -1.21874957 96.163330 -69.829207
    Oben rechts KachelX + 1 100549 KachelY 101557 1.67841467 -1.21874957 96.166077 -69.829207
    Unten links KachelX 100548 KachelY + 1 101558 1.67836673 -1.21876610 96.163330 -69.830154
    Unten rechts KachelX + 1 100549 KachelY + 1 101558 1.67841467 -1.21876610 96.166077 -69.830154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21874957--1.21876610) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dl = 105.3126300008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21874957--1.21876610) × R
    1.65300000001256e-05 × 6371000     		dr = 105.3126300008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67836673-1.67841467) × cos(-1.21874957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344819755360211 × 6371000     		do = 105.316828947442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67836673-1.67841467) × cos(-1.21876610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3448042391159 × 6371000     		du = 105.312089887042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21874957)-sin(-1.21876610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344819755360211-0.3448042391159)×R²
    abs(1.67841467-1.67836673)×1.55162443118972e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55162443118972e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55162443118972e-05×40589641000000     		ar = 11090.9426984774m²