Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100547 / 99475
↖ ↑ ↗
← S 67.762516°
E 96.160583°		 ← 115.59 m → S 67.762516°
E 96.163330°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
S 67.763556°
E 96.160583°		 ← 115.58 m →
13 365 m²		 S 67.763556°
E 96.163330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767116546630859 y=0.758937835693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767116546630859 × 217)
    floor (0.767116546630859 × 131072)
    floor (100547.5)     		tx = 100547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758937835693359 × 217)
    floor (0.758937835693359 × 131072)
    floor (99475.5)     		ty = 99475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100547 / 99475 ti = "17/100547/99475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100547/99475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100547 ÷ 217
    100547 ÷ 131072     		x = 0.767112731933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99475 ÷ 217
    99475 ÷ 131072     		y = 0.758934020996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767112731933594 × 2 - 1) × π
    0.534225463867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.67831879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758934020996094 × 2 - 1) × π
    -0.517868041992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.62693043620509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67831879} λ = 1.67831879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62693043620509))-π/2
    2×atan(0.196531916445138)-π/2
    2×0.194058650986152-π/2
    0.388117301972303-1.57079632675     		φ = -1.18267902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67831879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.160583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18267902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.762516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100547 KachelY 99475 1.67831879 -1.18267902 96.160583 -67.762516
    Oben rechts KachelX + 1 100548 KachelY 99475 1.67836673 -1.18267902 96.163330 -67.762516
    Unten links KachelX 100547 KachelY + 1 99476 1.67831879 -1.18269717 96.160583 -67.763556
    Unten rechts KachelX + 1 100548 KachelY + 1 99476 1.67836673 -1.18269717 96.163330 -67.763556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18267902--1.18269717) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18267902--1.18269717) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67831879-1.67836673) × cos(-1.18267902) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378446422354397 × 6371000     		do = 115.587278597869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67831879-1.67836673) × cos(-1.18269717) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.378429622231013 × 6371000     		du = 115.582147407752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18267902)-sin(-1.18269717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378446422354397-0.378429622231013)×R²
    abs(1.67836673-1.67831879)×1.68001233843418e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68001233843418e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68001233843418e-05×40589641000000     		ar = 13365.4822490753m²