Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100542 / 98245
↖ ↑ ↗
← S 66.448595°
E 96.146851°		 ← 122.01 m → S 66.448595°
E 96.149597°		 →
↑
122 m
↓
↑
122 m
↓
S 66.449692°
E 96.146851°		 ← 122.01 m →
14 886 m²		 S 66.449692°
E 96.149597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100542 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767078399658203 y=0.749553680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767078399658203 × 217)
    floor (0.767078399658203 × 131072)
    floor (100542.5)     		tx = 100542
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749553680419922 × 217)
    floor (0.749553680419922 × 131072)
    floor (98245.5)     		ty = 98245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100542 / 98245 ti = "17/100542/98245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100542/98245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100542 ÷ 217
    100542 ÷ 131072     		x = 0.767074584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98245 ÷ 217
    98245 ÷ 131072     		y = 0.749549865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767074584960938 × 2 - 1) × π
    0.534149169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67807911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749549865722656 × 2 - 1) × π
    -0.499099731445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.56796804967242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67807911} λ = 1.67807911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56796804967242))-π/2
    2×atan(0.208468349615289)-π/2
    2×0.205524785664803-π/2
    0.411049571329607-1.57079632675     		φ = -1.15974676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67807911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.146851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15974676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.448595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100542 KachelY 98245 1.67807911 -1.15974676 96.146851 -66.448595
    Oben rechts KachelX + 1 100543 KachelY 98245 1.67812704 -1.15974676 96.149597 -66.448595
    Unten links KachelX 100542 KachelY + 1 98246 1.67807911 -1.15976591 96.146851 -66.449692
    Unten rechts KachelX + 1 100543 KachelY + 1 98246 1.67812704 -1.15976591 96.149597 -66.449692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15974676--1.15976591) × R
    1.91499999999678e-05 × 6371000     		dl = 122.004649999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15974676--1.15976591) × R
    1.91499999999678e-05 × 6371000     		dr = 122.004649999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67807911-1.67812704) × cos(-1.15974676) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.399571687818136 × 6371000     		do = 122.014021722182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67807911-1.67812704) × cos(-1.15976591) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.399554132902516 × 6371000     		du = 122.008661117512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15974676)-sin(-1.15976591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399571687818136-0.399554132902516)×R²
    abs(1.67812704-1.67807911)×1.75549156194998e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.75549156194998e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.75549156194998e-05×40589641000000     		ar = 14885.9510063397m²