Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100541 / 101566
↖ ↑ ↗
← S 69.837729°
E 96.144104°		 ← 105.27 m → S 69.837729°
E 96.146851°		 →
↑
105.25 m
↓
↑
105.25 m
↓
S 69.838675°
E 96.144104°		 ← 105.27 m →
11 080 m²		 S 69.838675°
E 96.146851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767070770263672 y=0.774890899658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767070770263672 × 217)
    floor (0.767070770263672 × 131072)
    floor (100541.5)     		tx = 100541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774890899658203 × 217)
    floor (0.774890899658203 × 131072)
    floor (101566.5)     		ty = 101566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100541 / 101566 ti = "17/100541/101566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100541/101566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100541 ÷ 217
    100541 ÷ 131072     		x = 0.767066955566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101566 ÷ 217
    101566 ÷ 131072     		y = 0.774887084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767066955566406 × 2 - 1) × π
    0.534133911132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.67803117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774887084960938 × 2 - 1) × π
    -0.549774169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72716649331062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67803117} λ = 1.67803117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72716649331062))-π/2
    2×atan(0.17778745889112)-π/2
    2×0.175949009953155-π/2
    0.35189801990631-1.57079632675     		φ = -1.21889831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67803117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.144104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21889831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.837729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100541 KachelY 101566 1.67803117 -1.21889831 96.144104 -69.837729
    Oben rechts KachelX + 1 100542 KachelY 101566 1.67807911 -1.21889831 96.146851 -69.837729
    Unten links KachelX 100541 KachelY + 1 101567 1.67803117 -1.21891483 96.144104 -69.838675
    Unten rechts KachelX + 1 100542 KachelY + 1 101567 1.67807911 -1.21891483 96.146851 -69.838675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21889831--1.21891483) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dl = 105.248919999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21889831--1.21891483) × R
    1.65199999999643e-05 × 6371000     		dr = 105.248919999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67803117-1.67807911) × cos(-1.21889831) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.344680133931641 × 6371000     		do = 105.274184969789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67803117-1.67807911) × cos(-1.21891483) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.344664626226981 × 6371000     		du = 105.269448517617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21889831)-sin(-1.21891483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344680133931641-0.344664626226981)×R²
    abs(1.67807911-1.67803117)×1.55077046608554e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.55077046608554e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.55077046608554e-05×40589641000000     		ar = 11079.7450188699m²