Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100540 / 98762
↖ ↑ ↗
← S 67.009574°
E 96.141357°		 ← 119.29 m → S 67.009574°
E 96.144104°		 →
↑
119.27 m
↓
↑
119.27 m
↓
S 67.010646°
E 96.141357°		 ← 119.29 m →
14 227 m²		 S 67.010646°
E 96.144104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767063140869141 y=0.753498077392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767063140869141 × 217)
    floor (0.767063140869141 × 131072)
    floor (100540.5)     		tx = 100540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753498077392578 × 217)
    floor (0.753498077392578 × 131072)
    floor (98762.5)     		ty = 98762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100540 / 98762 ti = "17/100540/98762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100540/98762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100540 ÷ 217
    100540 ÷ 131072     		x = 0.767059326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98762 ÷ 217
    98762 ÷ 131072     		y = 0.753494262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767059326171875 × 2 - 1) × π
    0.53411865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67798323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753494262695312 × 2 - 1) × π
    -0.506988525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59275142677599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67798323} λ = 1.67798323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59275142677599))-π/2
    2×atan(0.203365296532385)-π/2
    2×0.200629317821961-π/2
    0.401258635643921-1.57079632675     		φ = -1.16953769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67798323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.141357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16953769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.009574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100540 KachelY 98762 1.67798323 -1.16953769 96.141357 -67.009574
    Oben rechts KachelX + 1 100541 KachelY 98762 1.67803117 -1.16953769 96.144104 -67.009574
    Unten links KachelX 100540 KachelY + 1 98763 1.67798323 -1.16955641 96.141357 -67.010646
    Unten rechts KachelX + 1 100541 KachelY + 1 98763 1.67803117 -1.16955641 96.144104 -67.010646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16953769--1.16955641) × R
    1.87199999999166e-05 × 6371000     		dl = 119.265119999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16953769--1.16955641) × R
    1.87199999999166e-05 × 6371000     		dr = 119.265119999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67798323-1.67803117) × cos(-1.16953769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390577314808243 × 6371000     		do = 119.292365402442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67798323-1.67803117) × cos(-1.16955641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390560081667005 × 6371000     		du = 119.287101957527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16953769)-sin(-1.16955641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390577314808243-0.390560081667005)×R²
    abs(1.67803117-1.67798323)×1.72331412377491e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72331412377491e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72331412377491e-05×40589641000000     		ar = 14227.1044024188m²