Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10054 / 8002
↖ ↑ ↗
← N 67.331394°
W 69.543457°		 ← 470.82 m → N 67.331394°
W 69.532471°		 →
↑
470.88 m
↓
↑
470.88 m
↓
N 67.327160°
W 69.543457°		 ← 470.90 m →
221 720 m²		 N 67.327160°
W 69.532471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306838989257812 y=0.244216918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306838989257812 × 215)
    floor (0.306838989257812 × 32768)
    floor (10054.5)     		tx = 10054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244216918945312 × 215)
    floor (0.244216918945312 × 32768)
    floor (8002.5)     		ty = 8002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10054 / 8002 ti = "15/10054/8002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10054/8002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10054 ÷ 215
    10054 ÷ 32768     		x = 0.30682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8002 ÷ 215
    8002 ÷ 32768     		y = 0.24420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30682373046875 × 2 - 1) × π
    -0.3863525390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.21376230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24420166015625 × 2 - 1) × π
    0.5115966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.60722837046124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21376230} λ = -1.21376230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60722837046124))-π/2
    2×atan(4.98896448634071)-π/2
    2×1.37297542146336-π/2
    2.74595084292671-1.57079632675     		φ = 1.17515452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21376230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.543457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17515452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.331394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10054 KachelY 8002 -1.21376230 1.17515452 -69.543457 67.331394
    Oben rechts KachelX + 1 10055 KachelY 8002 -1.21357055 1.17515452 -69.532471 67.331394
    Unten links KachelX 10054 KachelY + 1 8003 -1.21376230 1.17508061 -69.543457 67.327160
    Unten rechts KachelX + 1 10055 KachelY + 1 8003 -1.21357055 1.17508061 -69.532471 67.327160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17515452-1.17508061) × R
    7.39100000000104e-05 × 6371000     		dl = 470.880610000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17515452-1.17508061) × R
    7.39100000000104e-05 × 6371000     		dr = 470.880610000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21376230--1.21357055) × cos(1.17515452) × R
    0.000191749999999935 × 0.385400494979936 × 6371000     		do = 470.820371636758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21376230--1.21357055) × cos(1.17508061) × R
    0.000191749999999935 × 0.385468694335497 × 6371000     		du = 470.903686646336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17515452)-sin(1.17508061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385400494979936-0.385468694335497)×R²
    abs(-1.21357055--1.21376230)×6.81993555614602e-05×R²
    0.000191749999999935×6.81993555614602e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.81993555614602e-05×40589641000000     		ar = 221719.799608902m²