Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100537 / 101192
↖ ↑ ↗
← S 69.480672°
E 96.133117°		 ← 107.06 m → S 69.480672°
E 96.135864°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
S 69.481634°
E 96.133117°		 ← 107.05 m →
11 459 m²		 S 69.481634°
E 96.135864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767040252685547 y=0.772037506103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767040252685547 × 217)
    floor (0.767040252685547 × 131072)
    floor (100537.5)     		tx = 100537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.772037506103516 × 217)
    floor (0.772037506103516 × 131072)
    floor (101192.5)     		ty = 101192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100537 / 101192 ti = "17/100537/101192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100537/101192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100537 ÷ 217
    100537 ÷ 131072     		x = 0.767036437988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101192 ÷ 217
    101192 ÷ 131072     		y = 0.77203369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767036437988281 × 2 - 1) × π
    0.534072875976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.67783942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77203369140625 × 2 - 1) × π
    -0.5440673828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70923809285272
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67783942} λ = 1.67783942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70923809285272))-π/2
    2×atan(0.181003648067073)-π/2
    2×0.179064918235416-π/2
    0.358129836470832-1.57079632675     		φ = -1.21266649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67783942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.133117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21266649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.480672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100537 KachelY 101192 1.67783942 -1.21266649 96.133117 -69.480672
    Oben rechts KachelX + 1 100538 KachelY 101192 1.67788736 -1.21266649 96.135864 -69.480672
    Unten links KachelX 100537 KachelY + 1 101193 1.67783942 -1.21268329 96.133117 -69.481634
    Unten rechts KachelX + 1 100538 KachelY + 1 101193 1.67788736 -1.21268329 96.135864 -69.481634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21266649--1.21268329) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dl = 107.032800000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21266649--1.21268329) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dr = 107.032800000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67783942-1.67788736) × cos(-1.21266649) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350523338450724 × 6371000     		do = 107.058850033513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67783942-1.67788736) × cos(-1.21268329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350507604294111 × 6371000     		du = 107.054044417086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21266649)-sin(-1.21268329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350523338450724-0.350507604294111)×R²
    abs(1.67788736-1.67783942)×1.5734156613878e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5734156613878e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5734156613878e-05×40589641000000     		ar = 11458.5513047165m²