Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100535 / 98765
↖ ↑ ↗
← S 67.012792°
E 96.127625°		 ← 119.28 m → S 67.012792°
E 96.130371°		 →
↑
119.27 m
↓
↑
119.27 m
↓
S 67.013865°
E 96.127625°		 ← 119.27 m →
14 225 m²		 S 67.013865°
E 96.130371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767024993896484 y=0.753520965576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767024993896484 × 217)
    floor (0.767024993896484 × 131072)
    floor (100535.5)     		tx = 100535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753520965576172 × 217)
    floor (0.753520965576172 × 131072)
    floor (98765.5)     		ty = 98765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100535 / 98765 ti = "17/100535/98765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100535/98765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100535 ÷ 217
    100535 ÷ 131072     		x = 0.767021179199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98765 ÷ 217
    98765 ÷ 131072     		y = 0.753517150878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767021179199219 × 2 - 1) × π
    0.534042358398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.67774355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753517150878906 × 2 - 1) × π
    -0.507034301757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.59289523747485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67774355} λ = 1.67774355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59289523747485))-π/2
    2×atan(0.203336052529817)-π/2
    2×0.200601235082698-π/2
    0.401202470165397-1.57079632675     		φ = -1.16959386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67774355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.127625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16959386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.012792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100535 KachelY 98765 1.67774355 -1.16959386 96.127625 -67.012792
    Oben rechts KachelX + 1 100536 KachelY 98765 1.67779149 -1.16959386 96.130371 -67.012792
    Unten links KachelX 100535 KachelY + 1 98766 1.67774355 -1.16961258 96.127625 -67.013865
    Unten rechts KachelX + 1 100536 KachelY + 1 98766 1.67779149 -1.16961258 96.130371 -67.013865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16959386--1.16961258) × R
    1.87199999999166e-05 × 6371000     		dl = 119.265119999469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16959386--1.16961258) × R
    1.87199999999166e-05 × 6371000     		dr = 119.265119999469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67774355-1.67779149) × cos(-1.16959386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390525605768013 × 6371000     		do = 119.276572130565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67774355-1.67779149) × cos(-1.16961258) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390508372216119 × 6371000     		du = 119.271308560225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16959386)-sin(-1.16961258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390525605768013-0.390508372216119)×R²
    abs(1.67779149-1.67774355)×1.72335518944799e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72335518944799e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72335518944799e-05×40589641000000     		ar = 14225.2208083764m²